حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x - 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $a$ في $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

خطوة 1.4.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a - 3 - 3 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

خطوة 2.1.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

خطوة 2.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

خطوة 2.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

خطوة 2.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

خطوة 2.3.2

اطرح $\frac{3}{x}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x - 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $a$ في $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.5

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

خطوة 4.1.4.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\ln (x)$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $a$ من كلا المتعادلين.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

خطوة 5.2.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - a + 3$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - a + 3$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

خطوة 5.3.3.1.2

اقسِم $3$ على $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

خطوة 5.6

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

خطوة 9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

خطوة 9.2

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

خطوة 9.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

خطوة 9.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

خطوة 10

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 11