حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \arctan (x^{5})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

خطوة 1.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

خطوة 1.2.3.2

اجمع $\frac{5}{1 + x^{10}}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

خطوة 1.2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{10} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $10 x^{9}$ و $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4

اضرب $x^{4}$ في $x^{9}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.3

أضف $9$ و $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.5

اجمع $5$ و $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1

اضرب $x^{10}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.1.3

أضف $3$ و $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.2

اضرب $4$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.4

اضرب $4$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.5

اضرب $- 10$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.2

اطرح $50 x^{13}$ من $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.5

أخرِج العامل $10 x^{3}$ من $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أخرِج العامل $10 x^{3}$ من $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.2

أخرِج العامل $10 x^{3}$ من $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.3

أخرِج العامل $10 x^{3}$ من $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.7

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.9

أعِد كتابة $- (3 x^{10} - 2)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.11

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 x^{4} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $5 x^{4} = 0$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $5 x^{4} = 0$ على $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.2.1.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اقسِم $0$ على $5$ .

$x^{4} = 0$

خطوة 5.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

خطوة 5.3

بسّط $\pm \sqrt[4]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

خطوة 5.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 5.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.3

اطرح $2$ من $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 2$ في $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

خطوة 7.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 20$ في $0$ .

$- \frac{0}{1}$

خطوة 7.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 0$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0$

خطوة 8

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 8.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

خطوة 8.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

خطوة 8.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

خطوة 8.2.2.2.2

أضف $1024$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

خطوة 8.2.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

اضرب $5$ في $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

خطوة 8.2.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $1025$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

خطوة 8.2.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

خطوة 8.2.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

خطوة 8.2.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

خطوة 8.2.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

خطوة 8.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

خطوة 8.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

خطوة 8.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

خطوة 8.3.2.2.2

أضف $1024$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

خطوة 8.3.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.1

اضرب $5$ في $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

خطوة 8.3.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $1025$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

خطوة 8.3.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

خطوة 8.3.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

خطوة 8.3.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

خطوة 8.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

خطوة 8.4

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 0$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 8.5

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 9