حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \csc (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب عوامل $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cot (x) \csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.3

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.4

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.5

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

خطوة 2.8

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

خطوة 2.9

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

خطوة 2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

خطوة 2.11

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

خطوة 2.12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

خطوة 2.12.2.2

اضرب $\csc (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

خطوة 2.12.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

خطوة 2.12.2.4

اضرب $\csc^{3} (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

خطوة 2.12.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \cot (x) \csc (x) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cot (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cot (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cot (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$x = arccot (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

دالة ظل التمام موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط $π + \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.2.5

حل المعادلة $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\csc (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\csc (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc (x) = 0$

خطوة 6.2

مدى دالة قاطع التمام هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- \cot (x) \csc (x) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 \cdot 1 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9.1.4

اضرب $0$ في $1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + 1^{3}$

خطوة 9.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 + 1$

خطوة 9.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 10

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

خطوة 11.2.2

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن ظل التمام سالب في الربع الرابع.

${(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

${(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن قاطع التمام سالب في الربع الرابع.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.7

اضرب $0 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 \cdot - 1 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.7.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.8

$0 + {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

خطوة 13.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

خطوة 13.1.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + {(- 1)}^{3}$

خطوة 13.1.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$0 - 1$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 14

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = \csc (\frac{3 π}{2})$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 15.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 15.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \csc (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17