حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5

افصِل الكسور.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 8

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 8.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9

افصِل الكسور.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 10

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 11

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

خطوة 12

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = 0$

خطوة 13

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 2$

خطوة 14

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 14.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 14.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 2$

خطوة 15

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (2)$

خطوة 16

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احسِب قيمة $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

خطوة 17

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 18

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

خطوة 18.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 18.3

أضف $3.14159265$ و $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

خطوة 19

حل المعادلة $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

خطوة 20

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1.10714871$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

خطوة 21

$x = 1.10714871$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1.10714871$ هي حد أقصى محلي

خطوة 22

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1.10714871$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.10714871$ في العبارة.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

خطوة 22.2

الإجابة النهائية هي $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ .

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4.24874137$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

خطوة 24

$x = 4.24874137$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 4.24874137$ هي حد أدنى محلي

خطوة 25

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 4.24874137$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.24874137$ في العبارة.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

خطوة 25.2

الإجابة النهائية هي $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ .

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

خطوة 26

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ هي نقطة قصوى محلية

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 27