حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \sec (x) \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.4

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.5

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.6

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.7

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sec^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.3.3

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

خطوة 2.3.4

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

خطوة 2.3.5

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

خطوة 2.3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

خطوة 2.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

خطوة 2.3.8

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

خطوة 4

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

خطوة 6

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7