حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x + 8 \cos (8 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \cos (8 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

خطوة 1.3.6

اضرب $8$ في $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 8$ في $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - 64 \sin (8 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 64 \sin (8 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

خطوة 2.2.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

خطوة 2.2.5

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

خطوة 2.2.6

انقُل $8$ إلى يسار $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

خطوة 2.2.7

اضرب $8$ في $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

خطوة 2.3

اطرح $512 \cos (8 x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

خطوة 4

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 64 \sin (8 x) = - 8$ على $- 64$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 64 \sin (8 x) = - 8$ على $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\sin (8 x)$ على $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $- 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أخرِج العامل $- 8$ من $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

خطوة 5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 8$ من $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

خطوة 5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

خطوة 5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

خطوة 6

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $8 x = 0.12532783$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $8 x = 0.12532783$ على $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم $0.12532783$ على $8$ .

$x = 0.01566597$

خطوة 9

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $0.12532783$ من $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

خطوة 10.2

اقسِم كل حد في $8 x = 3.01626482$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $8 x = 3.01626482$ على $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

خطوة 10.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

خطوة 10.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اقسِم $3.01626482$ على $8$ .

$x = 0.3770331$

خطوة 11

حل المعادلة $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0.01566597$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

خطوة 13

اضرب $8$ في $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

خطوة 14

$x = 0.01566597$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0.01566597$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0.01566597$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.01566597$ في العبارة.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

اضرب $8$ في $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

خطوة 15.2.1.2

اضرب $8$ في $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

خطوة 15.2.2

أضف $0.12532783$ و $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0.3770331$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

خطوة 17

اضرب $8$ في $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

خطوة 18

$x = 0.3770331$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0.3770331$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0.3770331$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.3770331$ في العبارة.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

اضرب $8$ في $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

خطوة 19.2.1.2

اضرب $8$ في $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

خطوة 19.2.2

أضف $3.01626482$ و $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

خطوة 19.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ هي نقطة قصوى محلية

$(0.3770331, - 4.92098911)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21