حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x (435 - \frac{7}{2} x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $x$ و $\frac{7}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (435 - \frac{x \cdot 7}{2})]$

خطوة 1.1.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (435 - \frac{7 x}{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 435 - \frac{7 x}{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [435 - \frac{7 x}{2}] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $435 - \frac{7 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [435] + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [435] + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

بما أن $435$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $435$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

بما أن $- \frac{7}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{7 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

اجمع $x$ و $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x \cdot 7}{2} \frac{d}{d x} [x] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.5.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{7 \cdot x}{2} \frac{d}{d x} [x] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{7 x}{2} \cdot 1 + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{7 x}{2} + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{7 x}{2} + (435 - \frac{7 x}{2}) \cdot 1$

خطوة 1.3.9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

اضرب $435 - \frac{7 x}{2}$ في $1$ .

$- \frac{7 x}{2} + 435 - \frac{7 x}{2}$

خطوة 1.3.9.2

اطرح $\frac{7 x}{2}$ من $- \frac{7 x}{2}$ .

$- 2 \frac{7 x}{2} + 435$

خطوة 1.3.9.3

اجمع $- 2$ و $\frac{7 x}{2}$ .

$\frac{- 2 (7 x)}{2} + 435$

خطوة 1.3.9.4

اضرب $7$ في $- 2$ .

$\frac{- 14 x}{2} + 435$

خطوة 1.3.9.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x$ .

$\frac{2 (- 7 x)}{2} + 435$

خطوة 1.3.9.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 7 x)}{2 (1)} + 435$

خطوة 1.3.9.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 1} + 435$

خطوة 1.3.9.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 7 x}{1} + 435$

خطوة 1.3.9.5.2.4

اقسِم $- 7 x$ على $1$ .

$- 7 x + 435$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 7 x + 435$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [435]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (435)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (435)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (435)$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$f'' (x) = - 7 + \frac{d}{d x} (435)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $435$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $435$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 7 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $- 7$ و $0$ .

$f'' (x) = - 7$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 7 x + 435 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

اجمع $x$ و $\frac{7}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (435 - \frac{x \cdot 7}{2})]$

خطوة 4.1.1.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (435 - \frac{7 x}{2})]$

خطوة 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [435 - \frac{7 x}{2}] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $435 - \frac{7 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [435] + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [435] + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

بما أن $435$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $435$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{2}] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.4

بما أن $- \frac{7}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{7 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x]) + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.5.1

اجمع $x$ و $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x \cdot 7}{2} \frac{d}{d x} [x] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.5.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{7 \cdot x}{2} \frac{d}{d x} [x] + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{7 x}{2} \cdot 1 + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{7 x}{2} + (435 - \frac{7 x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{7 x}{2} + (435 - \frac{7 x}{2}) \cdot 1$

خطوة 4.1.3.9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.9.1

اضرب $435 - \frac{7 x}{2}$ في $1$ .

$- \frac{7 x}{2} + 435 - \frac{7 x}{2}$

خطوة 4.1.3.9.2

اطرح $\frac{7 x}{2}$ من $- \frac{7 x}{2}$ .

$- 2 \frac{7 x}{2} + 435$

خطوة 4.1.3.9.3

اجمع $- 2$ و $\frac{7 x}{2}$ .

$\frac{- 2 (7 x)}{2} + 435$

خطوة 4.1.3.9.4

اضرب $7$ في $- 2$ .

$\frac{- 14 x}{2} + 435$

خطوة 4.1.3.9.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.9.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x$ .

$\frac{2 (- 7 x)}{2} + 435$

خطوة 4.1.3.9.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.9.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 7 x)}{2 (1)} + 435$

خطوة 4.1.3.9.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 1} + 435$

خطوة 4.1.3.9.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 7 x}{1} + 435$

خطوة 4.1.3.9.5.2.4

اقسِم $- 7 x$ على $1$ .

$f' (x) = - 7 x + 435$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 7 x + 435$ .

$- 7 x + 435$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 7 x + 435 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 7 x + 435 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $435$ من كلا المتعادلين.

$- 7 x = - 435$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 435$ على $- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 435$ على $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 435}{- 7}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 435}{- 7}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 435}{- 7}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{435}{7}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{435}{7}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{435}{7}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 7$

خطوة 9

$x = \frac{435}{7}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{435}{7}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{435}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{435}{7}$ في العبارة.

$f (\frac{435}{7}) = (\frac{435}{7}) (435 - \frac{7}{2} \cdot \frac{435}{7})$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{- 7}{2} \cdot \frac{435}{7})$

خطوة 10.2.1.1.2

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{7 (- 1)}{2} \cdot \frac{435}{7})$

خطوة 10.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{7 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{435}{7})$

خطوة 10.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{- 1}{2} \cdot 435)$

خطوة 10.2.1.2

اجمع $\frac{- 1}{2}$ و $435$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{- 1 \cdot 435}{2})$

خطوة 10.2.1.3

اضرب $- 1$ في $435$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 + \frac{- 435}{2})$

خطوة 10.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 - \frac{435}{2})$

خطوة 10.2.2

لكتابة $435$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (435 \cdot \frac{2}{2} - \frac{435}{2})$

خطوة 10.2.3

اجمع $435$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot (\frac{435 \cdot 2}{2} - \frac{435}{2})$

خطوة 10.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot \frac{435 \cdot 2 - 435}{2}$

خطوة 10.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.1

اضرب $435$ في $2$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot \frac{870 - 435}{2}$

خطوة 10.2.5.2

اطرح $435$ من $870$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435}{7} \cdot \frac{435}{2}$

خطوة 10.2.6

اضرب $\frac{435}{7} \cdot \frac{435}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.6.1

اضرب $\frac{435}{7}$ في $\frac{435}{2}$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{435 \cdot 435}{7 \cdot 2}$

خطوة 10.2.6.2

اضرب $435$ في $435$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{189225}{7 \cdot 2}$

خطوة 10.2.6.3

اضرب $7$ في $2$ .

$f (\frac{435}{7}) = \frac{189225}{14}$

خطوة 10.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{189225}{14}$ .

$y = \frac{189225}{14}$

خطوة 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x (435 - \frac{7}{2} x)$ .

$(\frac{435}{7}, \frac{189225}{14})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 12