حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x (x^{2} - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1$

خطوة 1.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

اضرب $x^{2} - 1$ في $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} - 1$

خطوة 1.8.2

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$3 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1$

خطوة 4.1.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.8.1

اضرب $x^{2} - 1$ في $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} - 1$

خطوة 4.1.8.2

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 5.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$6 (\frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 (2) \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{3}$

خطوة 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{3}) ({(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - 1)$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{3^{2}} - 1)$

خطوة 11.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{9} - 1)$

خطوة 11.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 (1)}{9} - 1)$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - 1)$

خطوة 11.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - 1)$

خطوة 11.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} - 1)$

خطوة 11.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 11.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1 - 3}{3}$

خطوة 11.2.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- 2}{3}$

خطوة 11.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2}{3})$

خطوة 11.2.7

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

خطوة 11.2.7.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

خطوة 11.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

خطوة 11.2.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{3}$

خطوة 13.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 (2) \frac{- \sqrt{3}}{3}$

خطوة 13.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{3}$

خطوة 13.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- \sqrt{3})$

خطوة 13.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

خطوة 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ({(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - 1)$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - 1)$

خطوة 15.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) - 1)$

خطوة 15.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) - 1)$

خطوة 15.2.1.3

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{3^{2}} - 1)$

خطوة 15.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3}{9} - 1)$

خطوة 15.2.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 (1)}{9} - 1)$

خطوة 15.2.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - 1)$

خطوة 15.2.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - 1)$

خطوة 15.2.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} - 1)$

خطوة 15.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 15.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

خطوة 15.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 15.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1 - 3}{3}$

خطوة 15.2.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- 2}{3}$

خطوة 15.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2}{3})$

خطوة 15.2.7

اضرب $- \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 15.2.7.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 15.2.7.3

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

خطوة 15.2.7.4

اضرب $3$ في $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

خطوة 15.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

خطوة 15.2.9

الإجابة النهائية هي $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x (x^{2} - 1)$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$ هي نقاط دنيا محلية

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17