حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $480 - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $480$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (160) + 3 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

خطوة 1.1.2

اجمع $x$ و $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x (3 (160 - x))}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 160 - x$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $160 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

بما أن $160$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $160$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

خطوة 1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

اضرب $160 - x$ في $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

خطوة 1.3.8.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.3

اجمع $\frac{- 6}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.4.2.4

اقسِم $- 3 x$ على $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 1.4.2.5

اجمع $\frac{3}{2}$ و $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

خطوة 1.4.2.6

اضرب $3$ في $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

خطوة 1.4.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $480$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $480$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

خطوة 1.4.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

خطوة 1.4.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

خطوة 1.4.2.7.2.4

اقسِم $240$ على $1$ .

$- 3 x + 240$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x + 240$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [240]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (240)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (240)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (240)$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (x) = - 3 + \frac{d}{d x} (240)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $240$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $240$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 3 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $- 3$ و $0$ .

$f'' (x) = - 3$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 3 x + 240 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $480 - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $480$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

خطوة 4.1.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

خطوة 4.1.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (160) + 3 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

خطوة 4.1.1.2

اجمع $x$ و $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

خطوة 4.1.1.3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x (3 (160 - x))}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

خطوة 4.1.2

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $160 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.2

بما أن $160$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $160$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

خطوة 4.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.8.1

اضرب $160 - x$ في $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

خطوة 4.1.3.8.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.3

اجمع $\frac{- 6}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.4.2.4

اقسِم $- 3 x$ على $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

خطوة 4.1.4.2.5

اجمع $\frac{3}{2}$ و $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

خطوة 4.1.4.2.6

اضرب $3$ في $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

خطوة 4.1.4.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $480$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $480$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

خطوة 4.1.4.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

خطوة 4.1.4.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

خطوة 4.1.4.2.7.2.4

اقسِم $240$ على $1$ .

$f' (x) = - 3 x + 240$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x + 240$ .

$- 3 x + 240$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x + 240 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x + 240 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $240$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x = - 240$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 240$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 x = - 240$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 240}{- 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $- 240$ على $- 3$ .

$x = 80$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 80$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 80$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 3$

خطوة 9

$x = 80$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 80$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 80$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $80$ في العبارة.

$f (80) = (80) (\frac{480 - 3 \cdot 80}{2})$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

اضرب $- 3$ في $80$ .

$f (80) = 80 (\frac{480 - 240}{2})$

خطوة 10.2.1.2

اطرح $240$ من $480$ .

$f (80) = 80 (\frac{240}{2})$

خطوة 10.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $80$ .

$f (80) = 2 (40) (\frac{240}{2})$

خطوة 10.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (80) = 2 \cdot (40 (\frac{240}{2}))$

خطوة 10.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (80) = 40 \cdot 240$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $40$ في $240$ .

$f (80) = 9600$

خطوة 10.2.3

الإجابة النهائية هي $9600$ .

$y = 9600$

خطوة 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$ .

$(80, 9600)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 12