حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \tan (x) - x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (x) - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب $- 1$ و $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

خطوة 1.4.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\tan^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

خطوة 2.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب عوامل $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\tan^{2} (x) = 0$

خطوة 4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\tan (x) = \pm 0$

خطوة 5.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 6

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 8

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 9

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 10

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

خطوة 12.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \tan (0)$

خطوة 12.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$2 \cdot 0$

خطوة 12.5

اضرب $2$ في $0$ .

$0$

خطوة 13

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 14