حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.2.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \cos (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب $\cos (x^{2})$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

خطوة 2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x^{2})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (x^{2})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x^{2}) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عوّض بقيمة $x^{2}$ التي تساوي $u$ .

$\cos (u) = 0$

خطوة 6.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $u$ من داخل جيب التمام.

$u = \arccos (0)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 6.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 6.2.5.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

خطوة 6.2.6

حل المعادلة $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

خطوة 6.2.7

عوّض بـ $x^{2}$ عن $u$ وأوجِد حل $x^{2} = \frac{π}{2}$

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

خطوة 6.2.7.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{π}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.7.2.2

اضرب $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.7.2.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.7.2.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.7.2.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 6.2.7.2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.7.2.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 6.2.7.2.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.7.2.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

خطوة 6.2.7.2.5

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

خطوة 6.2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

خطوة 6.2.7.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

خطوة 6.2.7.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

خطوة 6.2.8

عوّض بـ $x^{2}$ عن $u$ وأوجِد حل $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

خطوة 6.2.8.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.8.2.2

اضرب $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.8.2.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.8.2.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.8.2.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 6.2.8.2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.8.2.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 6.2.8.2.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.8.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

خطوة 6.2.8.2.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

خطوة 6.2.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

خطوة 6.2.8.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

خطوة 6.2.8.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x \cos (x^{2}) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9.1.5

اضرب $0$ في $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

خطوة 9.1.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 2 \cos (0)$

خطوة 9.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 9.1.8

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 9.2

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \sin (0)$

خطوة 11.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.2.5

بسّط.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.5

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.7.5

بسّط.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.8

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.9

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.9.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.10

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.11

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.13

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 13.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.15.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.15.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

خطوة 13.1.15.5

بسّط.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 13.1.16

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

خطوة 13.1.17

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.17.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

خطوة 13.1.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.17.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

خطوة 13.1.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

خطوة 13.1.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.18

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 13.1.19

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

خطوة 13.1.20

اضرب $2$ في $0$ .

$6 π + 0$

خطوة 13.2

أضف $6 π$ و $0$ .

$6 π$

خطوة 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 15.2.2.5

بسّط.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 15.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

خطوة 15.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

خطوة 15.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

خطوة 15.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

خطوة 15.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 15.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 15.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

خطوة 15.2.8

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.3

اضرب $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.4.5

بسّط.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.7

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.10

اضرب $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.11.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.11.5

بسّط.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.13

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.13.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.15

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.17

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.18

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.18.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 17.1.18.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.19

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.20

اضرب $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.21.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.21.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

خطوة 17.1.21.5

بسّط.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 17.1.22

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

خطوة 17.1.23

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.23.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

خطوة 17.1.23.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.23.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

خطوة 17.1.23.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

خطوة 17.1.23.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 17.1.24

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 17.1.25

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

خطوة 17.1.26

اضرب $2$ في $0$ .

$6 π + 0$

خطوة 17.2

أضف $6 π$ و $0$ .

$6 π$

خطوة 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

خطوة 19.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 19.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 19.2.2.2

اضرب $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{6 π}}^{2}$ بالصيغة $6 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 π}$ في صورة ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 19.2.3.5

بسّط.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

خطوة 19.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

خطوة 19.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

خطوة 19.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

خطوة 19.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

خطوة 19.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 19.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 19.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

خطوة 19.2.9

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21