حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + x}$ في صورة ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

خطوة 1.2.13

انقُل ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [(2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 2 x + 1$ و $g (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.6

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

خطوة 2.2.11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

خطوة 2.2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

خطوة 2.2.13

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

خطوة 2.2.14

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.15

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.16

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.18.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.18.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.20

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.21

انقُل ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.22

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ و ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x^{2} + x)}^{- 1}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.23

انقُل ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x)} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.24

اضرب ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.24.1

انقُل $x^{2} + x$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 ((x^{2} + x) {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.24.2

اضرب $x^{2} + x$ في ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.24.2.1

ارفع $x^{2} + x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.2.24.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.24.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.24.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.24.5

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.25

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{2 (2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}})} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.26

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.27

ارفع $2 x + 1$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.28

ارفع $2 x + 1$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.29

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{1 + 1} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.30

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.31

اجمع ${(2 x + 1)}^{2}$ و $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.32

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.33

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.34

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.35

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.36

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.37

لكتابة $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.38.1

اضرب $\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}})}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38.2

اضرب ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.38.2.1

انقُل ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.38.3

أعِد ترتيب عوامل ${(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.39

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.40

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.40.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.40.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.41

بسّط.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $- \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أعِد كتابة ${(2 x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.2

وسّع $(2 x + 1) (2 x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.5

اضرب $2 x$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.1.6

اضرب $1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.3.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 4 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.5.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.5.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.6

أضف $- 4 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 0 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.7

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.8

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{0 - 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.3.9

اطرح $1$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.4.5

اضرب $- - \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 4.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + x}$ في صورة ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 4.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 4.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

خطوة 4.1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

خطوة 4.1.2.13

انقُل ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

خطوة 4.1.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 5.2

بسّط $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 2 x - 1$ في $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

خطوة 5.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 x - 1 + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 x + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.9.1

أعِد كتابة $- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.2.2.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 5.3

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

لا يوجد حل

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{{(x^{2} + x)}^{1}}} + 1$

خطوة 6.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + 1$

خطوة 6.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{x^{2} + x} = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{x^{2} + x})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + x}$ في صورة ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(x^{2} + x)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (x^{2} + x) = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{2} + 4 x = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x^{2} + 4 x = 0$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2}$ .

$4 x (x) + 4 x = 0$

خطوة 6.3.3.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x$ .

$4 x (x) + 4 x (1) = 0$

خطوة 6.3.3.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$4 x (x + 1) = 0$

خطوة 6.3.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 6.3.3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.3.3.4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 6.3.3.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 6.3.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 6.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{2} + x}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} + x < 0$

خطوة 6.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$x^{2} + x = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

خطوة 6.5.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

خطوة 6.5.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

خطوة 6.5.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

خطوة 6.5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 6.5.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.5.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 6.5.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 6.5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 6.5.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

خطوة 6.5.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 6.5.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

${(- 4)}^{2} - 4 < 0$

خطوة 6.5.8.1.3

الطرف الأيسر $12$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 6.5.8.2

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.8.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 0.5$

خطوة 6.5.8.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 0.5$ في المتباينة الأصلية.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 < 0$

خطوة 6.5.8.2.3

الطرف الأيسر $- 0.25$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 6.5.8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 6.5.8.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

${(2)}^{2} + 2 < 0$

خطوة 6.5.8.3.3

الطرف الأيسر $6$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 6.5.8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 0$ صحيحة

$x > 0$ خطأ

$x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 0$ صحيحة

$x > 0$ خطأ

خطوة 6.5.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 1 < x < 0$

خطوة 6.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 1, 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 9.1.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4 \cdot 0}$

خطوة 9.3.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{1}{0}$

خطوة 9.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{0}$

خطوة 9.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 10

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 11