حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5 \ln (3 x - 9)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 \ln (3 x - 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 1.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 1.2.6

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

خطوة 1.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

خطوة 1.2.8

أضف $3$ و $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

خطوة 1.2.9

اجمع $\frac{1}{3 x - 9}$ و $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

خطوة 1.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

خطوة 1.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

خطوة 1.2.10.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

خطوة 1.2.10.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

خطوة 1.2.10.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

خطوة 1.2.10.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

خطوة 1.2.11

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

خطوة 1.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

خطوة 1.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

خطوة 1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

خطوة 1.3.3

اطرح $5$ من $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 8$ و $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $x - 3$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 3 - x - - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3.2.1.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $- 3$ و $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5 \ln (3 x - 9)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 \ln (3 x - 9)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

خطوة 4.1.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 4.1.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 4.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 4.1.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 4.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

خطوة 4.1.2.6

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

خطوة 4.1.2.8

أضف $3$ و $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

خطوة 4.1.2.9

اجمع $\frac{1}{3 x - 9}$ و $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

خطوة 4.1.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

خطوة 4.1.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

خطوة 4.1.2.10.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

خطوة 4.1.2.10.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

خطوة 4.1.2.10.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

خطوة 4.1.2.10.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

خطوة 4.1.2.11

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

خطوة 4.1.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

خطوة 4.1.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

خطوة 4.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

خطوة 4.1.3.3

اطرح $5$ من $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x - 8 = 0$

خطوة 5.3

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x - 8}{x - 3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 3 = 0$

خطوة 6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 8$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 8$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $3$ من $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{5}{25}$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5}$

خطوة 10

$x = 8$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 8$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $3$ في $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

خطوة 11.2.1.2

اطرح $9$ من $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

خطوة 11.2.1.3

بسّط $- 5 \ln (15)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

خطوة 11.2.1.4

ارفع $15$ إلى القوة $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

خطوة 11.2.2

الإجابة النهائية هي $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13