حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 \arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.3.1.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 1$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5.1.2

أضف $2 \cdot 1 x$ و $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3.5.3

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 1$

خطوة 5.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

خطوة 7.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{4}$

خطوة 7.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$1$

خطوة 8

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

خطوة 9.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

خطوة 9.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 9.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 9.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 \frac{π}{2}$ بالصيغة $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.2

الإجابة النهائية هي $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

خطوة 11.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

خطوة 11.3

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$- 1$

خطوة 12

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

خطوة 13.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{4}$ إلى بسط الكسر.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

خطوة 13.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

خطوة 13.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

خطوة 13.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

خطوة 13.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

خطوة 13.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.4

اضرب $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

خطوة 13.2.1.4.2

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

خطوة 13.2.2

الإجابة النهائية هي $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 15