حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s (t) = \frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{2}{t + 2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t + 2}$ بالصيغة ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t + 2$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.7

أضف $1$ و $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.2.9

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ بالصيغة ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [{({(t + 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = {(t + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.8

اضرب الأُسس في ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.8.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.12

ارفع $t + 2$ إلى القوة $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.14

اطرح $4$ من $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.3.15

اضرب $- 2$ في $- 15$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 1.4

بما أن $22$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $22$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 1.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 1.5.3.3

اجمع $30$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 1.5.3.4

أضف $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ و $0$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ بالصيغة ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} {({(t + 2)}^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d t} ({(t + 2)}^{2})) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{2}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{2}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t + 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t + 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (2)))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} (2)))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.8

اضرب الأُسس في ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.8.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.9

أضف $1$ و $0$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.10

اضرب $2$ في $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.12

ارفع $t + 2$ إلى القوة $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 ((t + 2) {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.14

اطرح $4$ من $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.2.15

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $30 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 \frac{d}{d t} (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}})$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ بالصيغة ${({(t + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 \frac{d}{d t} ({({(t + 2)}^{3})}^{- 1})$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = {(t + 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح ${(t + 2)}^{3}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d t} ({(t + 2)}^{3}))$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{3})$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ ${(t + 2)}^{3}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{3})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $t + 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (4)} ({u_{4}}^{3}) \frac{d}{d t} (t + 2)))$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ هو $n {u_{4}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d t} (t + 2)))$

خطوة 2.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $t + 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 2)))$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (2))))$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} (2))))$

خطوة 2.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

خطوة 2.3.8

اضرب الأُسس في ${({(t + 2)}^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{3 \cdot - 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

خطوة 2.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2} \cdot 1))$

خطوة 2.3.10

اضرب $3$ في $1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2}))$

خطوة 2.3.11

اضرب $3$ في $- 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{- 6} {(t + 2)}^{2})$

خطوة 2.3.12

اضرب ${(t + 2)}^{- 6}$ في ${(t + 2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

انقُل ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 ({(t + 2)}^{2} {(t + 2)}^{- 6}))$

خطوة 2.3.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{2 - 6})$

خطوة 2.3.12.3

اطرح $6$ من $2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{- 4})$

خطوة 2.3.13

اضرب $- 3$ في $30$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} - 90 {(t + 2)}^{- 4}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s'' (t) = 4 (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}) - 90 {(t + 2)}^{- 4}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s'' (t) = 4 (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}) - 90 \frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} - 90 \frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.3.2

اجمع $- 90$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$ .

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} + \frac{- 90}{{(t + 2)}^{4}}$

خطوة 2.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} - \frac{90}{{(t + 2)}^{4}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{2}{t + 2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t + 2}$ بالصيغة ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t + 2$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.7

أضف $1$ و $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ بالصيغة ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [{({(t + 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.8

اضرب الأُسس في ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.8.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.12

ارفع $t + 2$ إلى القوة $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.14

اطرح $4$ من $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.3.15

اضرب $- 2$ في $- 15$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [22]$

خطوة 4.1.4

بما أن $22$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $22$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

خطوة 4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.5.3.3

اجمع $30$ و $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.5.3.4

أضف $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ و $0$ .

$f' (t) = - \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $s (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

${(t + 2)}^{2}, {(t + 2)}^{3}, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 5.2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 5.2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 5.2.5

عوامل $t + 2$ هي $(t + 2) \cdot (t + 2)$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $t + 2$ في نفسها بمعدل $2$ من المرات.

$(t + 2) = (t + 2) \cdot (t + 2)$

تحدث $(t + 2)$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 5.2.6

عوامل $t + 2$ هي $(t + 2) \cdot (t + 2) \cdot (t + 2)$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $t + 2$ في نفسها بمعدل $3$ من المرات.

$(t + 2) = (t + 2) \cdot (t + 2) \cdot (t + 2)$

تحدث $(t + 2)$ بمعدل $3$ من المرات.

خطوة 5.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ ${(t + 2)}^{2}, {(t + 2)}^{3}$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

${(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ في ${(t + 2)}^{3}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ في ${(t + 2)}^{3}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} {(t + 2)}^{3} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(t + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} {(t + 2)}^{3} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

أخرِج العامل ${(t + 2)}^{2}$ من ${(t + 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} ({(t + 2)}^{2} (t + 2)) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} ({(t + 2)}^{2} (t + 2)) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (t + 2) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 t - 2 \cdot 2 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 2 t - 4 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(t + 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 t - 4 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 t - 4 + 30 = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.2.2

أضف $- 4$ و $30$ .

$- 2 t + 26 = 0 {(t + 2)}^{3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $0$ في ${(t + 2)}^{3}$ .

$- 2 t + 26 = 0$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اطرح $26$ من كلا المتعادلين.

$- 2 t = - 26$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $- 2 t = - 26$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 t = - 26$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 t}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 t}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 26}{- 2}$

خطوة 5.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

اقسِم $- 26$ على $- 2$ .

$t = 13$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(t + 2)}^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة $t + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t + 2 = 0$

خطوة 6.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$t = - 2$

خطوة 6.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(t + 2)}^{3} = 0$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $t + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t + 2 = 0$

خطوة 6.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$t = - 2$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$t = 13$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 13$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4}{{((13) + 2)}^{3}} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أضف $13$ و $2$ .

$\frac{4}{15^{3}} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

خطوة 9.1.1.2

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

خطوة 9.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $13$ و $2$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{15^{4}}$

خطوة 9.1.2.2

ارفع $15$ إلى القوة $4$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{50625}$

خطوة 9.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $90$ و $50625$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أخرِج العامل $45$ من $90$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{45 (2)}{50625}$

خطوة 9.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.1

أخرِج العامل $45$ من $50625$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{45 \cdot 2}{45 \cdot 1125}$

خطوة 9.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{3375} - \frac{45 \cdot 2}{45 \cdot 1125}$

خطوة 9.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{3375} - \frac{2}{1125}$

خطوة 9.2

لكتابة $- \frac{2}{1125}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2}{1125} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 9.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3375$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $\frac{2}{1125}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2 \cdot 3}{1125 \cdot 3}$

خطوة 9.3.2

اضرب $1125$ في $3$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2 \cdot 3}{3375}$

خطوة 9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3375}$

خطوة 9.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{4 - 6}{3375}$

خطوة 9.5.2

اطرح $6$ من $4$ .

$\frac{- 2}{3375}$

خطوة 9.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{3375}$

خطوة 10

$t = 13$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 13$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $13$ في العبارة.

$s (13) = \frac{2}{(13) + 2} - \frac{15}{{((13) + 2)}^{2}} + 22$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أضف $13$ و $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{{((13) + 2)}^{2}} + 22$

خطوة 11.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

أضف $13$ و $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{15^{2}} + 22$

خطوة 11.2.1.2.2

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{225} + 22$

خطوة 11.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $225$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.3.1

أخرِج العامل $15$ من $15$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 (1)}{225} + 22$

خطوة 11.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $15$ من $225$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 15} + 22$

خطوة 11.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 15} + 22$

خطوة 11.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{1}{15} + 22$

خطوة 11.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$s (13) = 22 + \frac{2 - 1}{15}$

خطوة 11.2.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$s (13) = 22 + \frac{1}{15}$

خطوة 11.2.3

لكتابة $22$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$s (13) = 22 \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15}$

خطوة 11.2.4

اجمع $22$ و $\frac{15}{15}$ .

$s (13) = \frac{22 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15}$

خطوة 11.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$s (13) = \frac{22 \cdot 15 + 1}{15}$

خطوة 11.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

اضرب $22$ في $15$ .

$s (13) = \frac{330 + 1}{15}$

خطوة 11.2.6.2

أضف $330$ و $1$ .

$s (13) = \frac{331}{15}$

خطوة 11.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{331}{15}$ .

$y = \frac{331}{15}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $s (t) = \frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$ .

$(13, \frac{331}{15})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13