حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ و $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.3.6.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل $3$ إلى يسار $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

خطوة 1.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

خطوة 1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

خطوة 1.5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

خطوة 1.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

خطوة 1.5.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.2

اجمع $\frac{3}{12}$ و ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 1.6.3.6

اجمع ${(t - 1)}^{2}$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

خطوة 1.6.3.7

لكتابة $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 1.6.3.8

اجمع $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

خطوة 1.6.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

خطوة 1.6.3.10

اجمع $4$ و $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 1.6.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.11.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 1.6.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 1.6.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 1.6.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 1.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 1.6.5.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.1

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.2

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.3.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.5.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.5.1.1

انقُل $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.5.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.5.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.6.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.6.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.6.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.6.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.5.6.7

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

خطوة 1.6.5.6.8

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

خطوة 1.6.5.6.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

خطوة 1.6.5.6.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.6.9.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.6.9.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.7

أضف $- 6 t^{2}$ و $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.8

اطرح $2 t$ من $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.9

أضف $t^{3}$ و $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.10

اطرح $5 t^{2}$ من $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.11

أضف $3 t$ و $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

خطوة 1.6.5.12

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

خطوة 1.6.5.13

أضف $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ و $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

خطوة 1.6.5.14

أعِد كتابة $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.14.1

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.14.1.1

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

خطوة 1.6.5.14.1.2

أخرِج العامل $4 t$ من $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

خطوة 1.6.5.14.1.3

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

خطوة 1.6.5.14.1.4

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

خطوة 1.6.5.14.1.5

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

خطوة 1.6.5.14.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.14.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

خطوة 1.6.5.14.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

خطوة 1.6.5.14.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

خطوة 1.6.5.14.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = t$ و $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 1.6.6.2

اقسِم $t {(t - 1)}^{2}$ على $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

خطوة 1.6.7

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

خطوة 1.6.8

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

خطوة 1.6.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

خطوة 1.6.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.6.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.9.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.6.9.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.6.9.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.6.9.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.6.9.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

خطوة 1.6.9.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

خطوة 1.6.10

طبّق خاصية التوزيع.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 1.6.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.11.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.11.1.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.11.1.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 1.6.11.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 1.6.11.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 1.6.11.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

خطوة 1.6.11.3

اضرب $t$ في $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

خطوة 1.6.12

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.12.1

انقُل $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

خطوة 1.6.12.2

اضرب $t$ في $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{3} - 2 t^{2} + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 2 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

خطوة 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.3.6.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 4.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 4.1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

خطوة 4.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

انقُل $3$ إلى يسار $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

خطوة 4.1.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

خطوة 4.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

خطوة 4.1.5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

خطوة 4.1.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

خطوة 4.1.5.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.2

اجمع $\frac{3}{12}$ و ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

خطوة 4.1.6.3.6

اجمع ${(t - 1)}^{2}$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

خطوة 4.1.6.3.7

لكتابة $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 4.1.6.3.8

اجمع $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

خطوة 4.1.6.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

خطوة 4.1.6.3.10

اجمع $4$ و $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 4.1.6.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.11.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 4.1.6.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 4.1.6.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 4.1.6.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

خطوة 4.1.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.1

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.2

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.3.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.5.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.5.1.1

انقُل $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.5.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.5.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.6.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.6.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.6.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.6.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.7

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.8

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.6.9.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.6.9.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.7

أضف $- 6 t^{2}$ و $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.8

اطرح $2 t$ من $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.9

أضف $t^{3}$ و $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.10

اطرح $5 t^{2}$ من $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.11

أضف $3 t$ و $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

خطوة 4.1.6.5.12

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

خطوة 4.1.6.5.13

أضف $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ و $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14

أعِد كتابة $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.14.1

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.14.1.1

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.1.2

أخرِج العامل $4 t$ من $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.1.3

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.1.4

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.1.5

أخرِج العامل $4 t$ من $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.5.14.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.5.14.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

خطوة 4.1.6.5.14.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = t$ و $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

خطوة 4.1.6.6.2

اقسِم $t {(t - 1)}^{2}$ على $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

خطوة 4.1.6.7

أعِد كتابة ${(t - 1)}^{2}$ بالصيغة $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

خطوة 4.1.6.8

وسّع $(t - 1) (t - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

خطوة 4.1.6.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

خطوة 4.1.6.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.1.6.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.9.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.1.6.9.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.1.6.9.1.3

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.1.6.9.1.4

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.1.6.9.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

خطوة 4.1.6.9.2

اطرح $t$ من $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

خطوة 4.1.6.10

طبّق خاصية التوزيع.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.11.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.11.1.1

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.11.1.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.11.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.11.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.11.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

خطوة 4.1.6.11.3

اضرب $t$ في $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

خطوة 4.1.6.12

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.12.1

انقُل $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

خطوة 4.1.6.12.2

اضرب $t$ في $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $s (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

خطوة 5.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $t$ من $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

خطوة 5.2.1.4

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

خطوة 5.2.1.6

أخرِج العامل $t$ من $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

خطوة 5.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = t$ و $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة $t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة ${(t - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة ${(t - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

خطوة 5.5.2

أوجِد قيمة $t$ في ${(t - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

عيّن قيمة $t - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t - 1 = 0$

خطوة 5.5.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 1$

خطوة 5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $t {(t - 1)}^{2} = 0$ صحيحة.

$t = 0, 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$t = 0, 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 9.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$0 + 0 + 1$

خطوة 9.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 1$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 10

$t = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $0$ في العبارة.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اطرح $1$ من $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

خطوة 11.2.1.3

أضف $0$ و $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

خطوة 11.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

خطوة 11.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

خطوة 11.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

خطوة 13.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

خطوة 13.1.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$3 - 4 + 1$

خطوة 13.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اطرح $4$ من $3$ .

$- 1 + 1$

خطوة 13.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$0$

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $t$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $t^{3} - 2 t^{2} + t$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $- 2$ في العبارة.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

احذِف الأقواس.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

خطوة 14.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

خطوة 14.2.2.2.2

اضرب $- 2$ في ${(- 2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.2.2.1

اضرب $- 2$ في ${(- 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.2.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

خطوة 14.2.2.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

خطوة 14.2.2.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

خطوة 14.2.2.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

خطوة 14.2.2.3

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.3.1

اطرح $8$ من $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

خطوة 14.2.2.3.2

اطرح $2$ من $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

خطوة 14.2.2.4

الإجابة النهائية هي $- 18$ .

$- 18$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $0.5$ ، من الفترة $(0, 1)$ في المشتق الأول $t^{3} - 2 t^{2} + t$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $0.5$ في العبارة.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

احذِف الأقواس.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

خطوة 14.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

خطوة 14.3.2.2.2

ارفع $0.5$ إلى القوة $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

خطوة 14.3.2.2.3

اضرب $- 2$ في $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

خطوة 14.3.2.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.3.1

اطرح $0.5$ من $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

خطوة 14.3.2.3.2

أضف $- 0.375$ و $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

خطوة 14.3.2.4

الإجابة النهائية هي $0.125$ .

$0.125$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الأول $t^{3} - 2 t^{2} + t$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $4$ في العبارة.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

احذِف الأقواس.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

خطوة 14.4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

خطوة 14.4.2.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

خطوة 14.4.2.2.3

اضرب $- 2$ في $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

خطوة 14.4.2.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.3.1

اطرح $32$ من $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

خطوة 14.4.2.3.2

أضف $32$ و $4$ .

$s' (4) = 36$

خطوة 14.4.2.4

الإجابة النهائية هي $36$ .

$36$

خطوة 14.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $t = 0$ ، إذن $t = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$t = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.6

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $t = 1$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 14.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15