حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = - x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.5

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.7

اضرب $2$ في $12$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.8

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $27 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.10

اضرب $27$ في $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.2.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

خطوة 1.2.12

أضف $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ و $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ .

$(- 3 x^{2} + 24 x + 27) \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ في $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ ومجموعهما $b = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $- 1$ زائد $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$\frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.7

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

خطوة 1.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $27 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

خطوة 1.3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

خطوة 1.3.13

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)}$

خطوة 1.3.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 1.3.15

أعِد كتابة $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 1.3.16

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 1.3.17

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}]$ .

$P'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = (x + 1) (x - 9)$ و $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 9)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 9$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 9) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + (x - 9) \cdot 1) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.8.2

اضرب $x - 9$ في $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (x + 1 + x - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x + 1 - 9) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.8.4

اطرح $9$ من $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.11

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.13

اضرب $2$ في $- 12$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.14

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 27 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.16

اضرب $- 27$ في $1$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.17

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27 + 0)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.18

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.18.1

أضف $3 x^{2} - 24 x - 27$ و $0$ .

$P'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.18.2

اجمع $3$ و $\frac{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$ .

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) - (x + 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8) + (- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

وسّع $(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1) (2 x - 8)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$P'' (x) = \frac{3 (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{3} x + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.5.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} + x^{3} \cdot - 8 - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.3

انقُل $- 8$ إلى يسار $x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 \cdot x^{3} - 12 x^{2} (2 x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{2} x) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.5.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.5.3.1.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 12 \cdot (2 x^{3}) - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.6

اضرب $- 12$ في $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} - 12 x^{2} \cdot - 8 - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.7

اضرب $- 8$ في $- 12$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 x (2 x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x \cdot x) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.9

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.2.9.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 (x \cdot x)) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.9.2

اضرب $x$ في $x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 27 \cdot (2 x^{2}) - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.10

اضرب $- 27$ في $2$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} - 27 x \cdot - 8 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.11

اضرب $- 8$ في $- 27$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x - 1 \cdot - 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.2.13

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 24 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.3

اطرح $24 x^{3}$ من $- 8 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 96 x^{2} - 54 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.4

اطرح $54 x^{2}$ من $96 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 216 x - 2 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.5

اطرح $2 x$ من $216 x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 32 x^{3} + 42 x^{2} + 214 x + 8) + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{3 (2 x^{4}) + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.7.1

اضرب $2$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} + 3 (- 32 x^{3}) + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.7.2

اضرب $- 32$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 3 (42 x^{2}) + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.7.3

اضرب $42$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 3 (214 x) + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.7.4

اضرب $214$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 3 \cdot 8 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.7.5

اضرب $3$ في $8$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1 \cdot 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x - 1) (x - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.9

وسّع $(- x - 1) (x - 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x (x - 9) - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 (x - 9)) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.10.1.1.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- (x \cdot x) - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} - x \cdot - 9 - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.2

اضرب $- 9$ في $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - 1 x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x - 1 \cdot - 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 9 x - x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.10.2

اطرح $x$ من $9 x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 ((- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.11

وسّع $(- x^{2} + 8 x + 9) (3 x^{2} - 24 x - 27)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - x^{2} (- 24 x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2} x) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.5.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.5.3.1.12.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.6

اضرب $- 1$ في $- 24$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - x^{2} \cdot - 27 + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.7

اضرب $- 27$ في $- 1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 x (3 x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.9

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.9.1

انقُل $x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 (x^{2} x)) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.9.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.9.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

خطوة 2.5.3.1.12.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 8 \cdot (3 x^{3}) + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.10

اضرب $8$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 x (- 24 x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x \cdot x) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.12

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.12.12.1

انقُل $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 (x \cdot x)) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.12.2

اضرب $x$ في $x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} + 8 \cdot (- 24 x^{2}) + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.13

اضرب $8$ في $- 24$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} + 8 x \cdot - 27 + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.14

اضرب $- 27$ في $8$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 9 (3 x^{2}) + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.15

اضرب $3$ في $9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} + 9 (- 24 x) + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.16

اضرب $- 24$ في $9$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x + 9 \cdot - 27)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.12.17

اضرب $9$ في $- 27$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 27 x^{2} + 24 x^{3} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.13

أضف $24 x^{3}$ و $24 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 27 x^{2} - 192 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.14

اطرح $192 x^{2}$ من $27 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 165 x^{2} - 216 x + 27 x^{2} - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.15

أضف $- 165 x^{2}$ و $27 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 216 x - 216 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.16

اطرح $216 x$ من $- 216 x$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 138 x^{2} - 432 x - 243)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.17

طبّق خاصية التوزيع.

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.18.1

اضرب $- 3$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 3 (48 x^{3}) + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.18.2

اضرب $48$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} + 3 (- 138 x^{2}) + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.18.3

اضرب $- 138$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} + 3 (- 432 x) + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.18.4

اضرب $- 432$ في $3$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x + 3 \cdot - 243}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.1.18.5

اضرب $3$ في $- 243$ .

$P'' (x) = \frac{6 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 9 x^{4} + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.2

اطرح $9 x^{4}$ من $6 x^{4}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} - 96 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 + 144 x^{3} - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.3

أضف $- 96 x^{3}$ و $144 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} + 126 x^{2} + 642 x + 24 - 414 x^{2} - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.4

اطرح $414 x^{2}$ من $126 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} + 642 x + 24 - 1296 x - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.5

اطرح $1296 x$ من $642 x$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x + 24 - 729}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.3.6

اطرح $729$ من $24$ .

$P'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{4} + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{4}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 48 x^{3} - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.2

أخرِج العامل $3$ من $48 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) - 288 x^{2} - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.3

أخرِج العامل $3$ من $- 288 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) - 654 x - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.4

أخرِج العامل $3$ من $- 654 x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) - 705}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.5

أخرِج العامل $3$ من $- 705$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.6

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{4}) + 3 (16 x^{3})$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.7

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{4} + 16 x^{3}) + 3 (- 96 x^{2})$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.8

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2}) + 3 (- 218 x)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.4.9

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x) + 3 (- 235)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{4}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) + 16 x^{3} - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $16 x^{3}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) - (- 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{4}) - (- 16 x^{3})$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - 96 x^{2} - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 96 x^{2}$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{4} - 16 x^{3}) - (96 x^{2})$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - 218 x - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 218 x$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2}) - (218 x)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.12

أعِد كتابة $- 235$ بالصيغة $- 1 (235)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 \cdot 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x) - 1 (235)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.14

أعِد كتابة $- (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ بالصيغة $- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)$ .

$P'' (x) = \frac{3 (- 1 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235))}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$P'' (x) = - \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 218 x + 235)}{{(x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

خطوة 4.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

خطوة 4.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $2$ في $12$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (27 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.8

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $27 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.10

اضرب $27$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.2.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27 + 0)$

خطوة 4.1.2.12

أضف $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1} (- 3 x^{2} + 24 x + 27)$ .

$f' (x) = (- 3 x^{2} + 24 x + 27) (\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1})$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ في $\frac{1}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 24 x + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $24 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 27}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (9)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.2.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.2.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $- 1$ زائد $9$

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f' (x) = \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f' (x) = \frac{3 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$f' (x) = \frac{3 ((- x - 1) (x - 9))}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

$f' (x) = \frac{3 (- x - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.7

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 12 x^{2} + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (- 12 x^{2})$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) + 27 x + 1}$

خطوة 4.1.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $27 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x) + 1}$

خطوة 4.1.3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 12 x^{2}) - (- 27 x)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) + 1}$

خطوة 4.1.3.13

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.1.3.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 4.1.3.15

أعِد كتابة $- (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 4.1.3.16

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1)}$

خطوة 4.1.3.17

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $P (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 (x + 1) (x - 9) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (x + 1) (x - 9) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 9$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1 = 0$

خطوة 6.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 1.90410133, - 0.03766968, 13.94177101$

خطوة 6.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 1.90410133, x = - 0.03766968, x = 13.94177101$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 9, - 1.90410133, - 0.03766968$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 9$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3 ({(9)}^{4} - 16 {(9)}^{3} + 96 {(9)}^{2} + 218 (9) + 235)}{{({(9)}^{3} - 12 {(9)}^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $4$ .

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 9^{3} + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3 (6561 - 16 \cdot 729 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 16$ في $729$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 9^{2} + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.4

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 96 \cdot 81 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.5

اضرب $96$ في $81$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 218 (9) + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.6

اضرب $218$ في $9$ .

$- \frac{3 (6561 - 11664 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.7

اطرح $11664$ من $6561$ .

$- \frac{3 (- 5103 + 7776 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.8

أضف $- 5103$ و $7776$ .

$- \frac{3 (2673 + 1962 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.9

أضف $2673$ و $1962$ .

$- \frac{3 (4635 + 235)}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.1.10

أضف $4635$ و $235$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(9^{3} - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 9^{2} - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 12 \cdot 81 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.3

اضرب $- 12$ في $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 27 \cdot 9 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.4

اضرب $- 27$ في $9$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(729 - 972 - 243 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.5

اطرح $972$ من $729$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 243 - 243 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.6

اطرح $243$ من $- 243$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 486 - 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.7

اطرح $1$ من $- 486$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{{(- 487)}^{2}}$

خطوة 9.2.8

ارفع $- 487$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3 \cdot 4870}{237169}$

خطوة 9.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $3$ في $4870$ .

$- \frac{14610}{237169}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $14610$ و $237169$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $487$ من $14610$ .

$- \frac{487 (30)}{237169}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $487$ من $237169$ .

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{487 \cdot 30}{487 \cdot 487}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{30}{487}$

خطوة 10

$x = 9$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 9$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$P (9) = \ln (- {(9)}^{3} + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$P (9) = \ln (- 1 \cdot 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $729$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 12 {(9)}^{2} + 27 (9) + 1)$

خطوة 11.2.1.3

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 12 \cdot 81 + 27 (9) + 1)$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $12$ في $81$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 27 (9) + 1)$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $27$ في $9$ .

$P (9) = \ln (- 729 + 972 + 243 + 1)$

خطوة 11.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أضف $- 729$ و $972$ .

$P (9) = \ln (243 + 243 + 1)$

خطوة 11.2.2.2

أضف $243$ و $243$ .

$P (9) = \ln (486 + 1)$

خطوة 11.2.2.3

أضف $486$ و $1$ .

$P (9) = \ln (487)$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (487)$ .

$y = \ln (487)$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1.90410133$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{({(- 1.90410133)}^{3} - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ارفع $- 1.90410133$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 {(- 1.90410133)}^{2} - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.1.2

ارفع $- 1.90410133$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 12 \cdot 3.62560188 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.1.3

اضرب $- 12$ في $3.62560188$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 - 27 \cdot - 1.90410133 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.1.4

اضرب $- 27$ في $- 1.90410133$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 6.90351337 - 43.50722259 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اطرح $43.50722259$ من $- 6.90351337$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(- 50.41073596 + 51.41073596 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.2

أضف $- 50.41073596$ و $51.41073596$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0.99999999 - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.3

اطرح $1$ من $0.99999999$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{{(0)}^{2}}$

خطوة 13.2.4

ارفع $0$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

خطوة 13.2.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{3 ({(- 1.90410133)}^{4} - 16 {(- 1.90410133)}^{3} + 96 {(- 1.90410133)}^{2} + 218 (- 1.90410133) + 235)}{0}$

خطوة 13.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1.90410133) \cup (- 1.90410133, - 0.03766968) \cup (- 0.03766968, 9) \cup (9, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 1.90410133)$ في المشتق الأول $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$P' (- 4) = \frac{3 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.1

أضف $- 4$ و $1$ .

$P' (- 4) = \frac{3 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.1.2

اضرب $3$ في $- 3$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 (- 4 - 9)}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.1.3

اطرح $9$ من $- 4$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{{(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 {(- 4)}^{2} - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 12 \cdot 16 - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.3

اضرب $- 12$ في $16$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 - 27 \cdot - 4 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.4

اضرب $- 27$ في $- 4$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 64 - 192 + 108 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.5

اطرح $192$ من $- 64$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 256 + 108 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.6

أضف $- 256$ و $108$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 148 - 1}$

خطوة 14.2.2.2.7

اطرح $1$ من $- 148$ .

$P' (- 4) = \frac{- 9 \cdot - 13}{- 149}$

خطوة 14.2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.3.1

اضرب $- 9$ في $- 13$ .

$P' (- 4) = \frac{117}{- 149}$

خطوة 14.2.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$P' (- 4) = - \frac{117}{149}$

خطوة 14.2.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{117}{149}$ .

$- \frac{117}{149}$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 1$ ، من الفترة $(- 1.90410133, - 0.03766968)$ في المشتق الأول $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$P' (- 1) = \frac{3 ((- 1) + 1) ((- 1) - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$P' (- 1) = \frac{3 \cdot (0 (- 1 - 9))}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$P' (- 1) = \frac{0 (- 1 - 9)}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $- 1 - 9$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{{(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 {(- 1)}^{2} - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 \cdot 1 - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 - 27 \cdot - 1 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.4

اضرب $- 27$ في $- 1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 1 - 12 + 27 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.5

اطرح $12$ من $- 1$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{- 13 + 27 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.6

أضف $- 13$ و $27$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{14 - 1}$

خطوة 14.3.2.2.7

اطرح $1$ من $14$ .

$P' (- 1) = \frac{0}{13}$

خطوة 14.3.2.3

اقسِم $0$ على $13$ .

$P' (- 1) = 0$

خطوة 14.3.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- 0.03766968, 9)$ في المشتق الأول $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$P' (0) = \frac{3 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot (1 (0 - 9))}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$P' (0) = \frac{3 (0 - 9)}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.1.3

اطرح $9$ من $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0^{2} - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 12 \cdot 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.3

اضرب $- 12$ في $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 27 \cdot 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.4

اضرب $- 27$ في $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 + 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.5

أضف $0$ و $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 + 0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.6

أضف $0$ و $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{0 - 1}$

خطوة 14.4.2.2.7

اطرح $1$ من $0$ .

$P' (0) = \frac{3 \cdot - 9}{- 1}$

خطوة 14.4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.3.1

اضرب $3$ في $- 9$ .

$P' (0) = \frac{- 27}{- 1}$

خطوة 14.4.2.3.2

اقسِم $- 27$ على $- 1$ .

$P' (0) = 27$

خطوة 14.4.2.4

الإجابة النهائية هي $27$ .

$27$

خطوة 14.5

عوّض بأي عدد، مثل $11$ ، من الفترة $(9, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{3 (x + 1) (x - 9)}{x^{3} - 12 x^{2} - 27 x - 1}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $11$ في العبارة.

$P' (11) = \frac{3 ((11) + 1) ((11) - 9)}{{(11)}^{3} - 12 {(11)}^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1.1

أضف $11$ و $1$ .

$P' (11) = \frac{3 \cdot (12 (11 - 9))}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.1.2

اضرب $3$ في $12$ .

$P' (11) = \frac{36 (11 - 9)}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.1.3

اطرح $9$ من $11$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{11^{3} - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.2.1

ارفع $11$ إلى القوة $3$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 11^{2} - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.2

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 12 \cdot 121 - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.3

اضرب $- 12$ في $121$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 27 \cdot 11 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.4

اضرب $- 27$ في $11$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{1331 - 1452 - 297 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.5

اطرح $1452$ من $1331$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 121 - 297 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.6

اطرح $297$ من $- 121$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 418 - 1}$

خطوة 14.5.2.2.7

اطرح $1$ من $- 418$ .

$P' (11) = \frac{36 \cdot 2}{- 419}$

خطوة 14.5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.3.1

اضرب $36$ في $2$ .

$P' (11) = \frac{72}{- 419}$

خطوة 14.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$P' (11) = - \frac{72}{419}$

خطوة 14.5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{72}{419}$ .

$- \frac{72}{419}$

خطوة 14.6

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = - 1.90410133$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 14.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - 0.03766968$ ، إذن $x = - 0.03766968$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - 0.03766968$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 9$ ، إذن $x = 9$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 9$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $P (x) = \ln (- x^{3} + 12 x^{2} + 27 x + 1)$ .

$x = - 0.03766968$ هي حد أدنى محلي

$x = 9$ هي حد أقصى محلي

$x = - 0.03766968$ هي حد أدنى محلي

$x = 9$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15