حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3 i$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 \sin (t) i$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 5 j$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 5 \cos (3 t) j$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 3$ في $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $e^{- 7 t} k$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - 7 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

خطوة 1.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

خطوة 1.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

خطوة 1.4.3

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

خطوة 1.4.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

خطوة 1.4.6

انقُل $- 7$ إلى يسار $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3 i$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 i \cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $15 j$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $15 j \sin (3 t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.3.7

اضرب $3$ في $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 7 k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 7 k e^{- 7 t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - 7 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

خطوة 2.4.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

خطوة 2.4.6

انقُل $- 7$ إلى يسار $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

خطوة 2.4.7

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.2

اضرب $0$ في $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.3

اضرب $0$ في $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.6

اضرب $45$ في $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

خطوة 5.1.7

اضرب $- 7$ في $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

خطوة 5.1.8

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

خطوة 5.1.9

اضرب $49$ في $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

خطوة 5.2

أضف $0$ و $45 j$ .

$45 j + 49 k$

خطوة 6

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7