حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

خطوة 2.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5

افصِل الكسور.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 8

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 8.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9

افصِل الكسور.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 10

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 11

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 12

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

خطوة 13

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 \tan (x) = 1$

خطوة 14

اقسِم كل حد في $- 2 \tan (x) = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اقسِم كل حد في $- 2 \tan (x) = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 14.2.1.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

خطوة 14.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 15

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

خطوة 16

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احسِب قيمة $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

خطوة 17

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

خطوة 18

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

أضف $2 π$ إلى $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 18.2

الزاوية الناتجة لـ $2.67794504$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

خطوة 19

حل المعادلة $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

خطوة 20

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 0.4636476$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

خطوة 21

$x = - 0.4636476$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 0.4636476$ هي حد أقصى محلي

خطوة 22

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 0.4636476$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.4636476$ في العبارة.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

خطوة 22.2

الإجابة النهائية هي $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2.67794504$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

خطوة 24

$x = 2.67794504$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2.67794504$ هي حد أدنى محلي

خطوة 25

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2.67794504$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.67794504$ في العبارة.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

خطوة 25.2

الإجابة النهائية هي $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

خطوة 26

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ هي نقطة قصوى محلية

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 27