حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (y) = \arctan (y^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \arctan (y)$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

خطوة 1.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

خطوة 1.2.3.2

اجمع $\frac{2}{1 + y^{4}}$ و $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

خطوة 1.2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.2

اضرب $y^{4} + 1$ في $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{4} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $4 y^{3}$ و $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4

اضرب $y$ في $y^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.2

اضرب $y^{3}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.5

اطرح $4 y^{4}$ من $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.6

اجمع $2$ و $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3

أخرِج العامل $2$ من $- 6 y^{4} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.7

أعِد كتابة $- (3 y^{4} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 y = 0$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $2 y = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $2 y = 0$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$y = 0$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $y = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

خطوة 7.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

خطوة 7.3.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- - 2$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2$

خطوة 8

$y = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$y = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $y$ بـ $0$ في العبارة.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$h (0) = \arctan (0)$

خطوة 9.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$h (0) = 0$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 10

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 11