حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt[3]{x - 6}$

خطوة 1

اكتب $x \sqrt[3]{x - 6}$ في صورة دالة.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 6}$ في صورة ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8.3

انقُل ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.11

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.12.2

اضرب $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

خطوة 2.14

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ في $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.15

لكتابة ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.16

اجمع ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.18

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.1

انقُل ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.18.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.18.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.19

بسّط ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.20

انقُل $3$ إلى يسار $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.21.2.1

اضرب $3$ في $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21.2.2

أضف $x$ و $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.21.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.21.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x - 9$ و $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.3.7.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.8.2

اطرح $3$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.9.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.9.3

انقُل ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.12

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.13.2

اضرب $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.13.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.3

اضرب $- 2 x + 9$ في $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.4

انقُل $2$ إلى يسار $- 2 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.5

اضرب $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.5.1

اجمع $2$ و $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.6

لكتابة $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.7

اجمع $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9

أعِد كتابة $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.9.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.9.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.3

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.9.3.1

انقُل ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.3.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.4

بسّط $3 {(x - 6)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.6

اضرب $3$ في $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.7

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.3.9.8

أضف $- 18$ و $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.4.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.4.2

اضرب $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 3.14.4.3

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3.14.4.4

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.4.4.1

انقُل ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 3.14.4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.4.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

خطوة 3.14.4.4.4

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 6}$ في صورة ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.8.3

انقُل ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.11

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.12.2

اضرب $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

خطوة 5.1.14

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ في $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 5.1.15

لكتابة ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.16

اجمع ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.18

اضرب ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.18.1

انقُل ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.18.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.18.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.19

بسّط ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.20

انقُل $3$ إلى يسار $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.21.2.1

اضرب $3$ في $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21.2.2

أضف $x$ و $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.21.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.1.21.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (2 x - 9) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $2 (2 x - 9) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (2 x - 9) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.3.1.2.1.2

اقسِم $2 x - 9$ على $1$ .

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$2 x - 9 = 0$

خطوة 6.3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 9$

خطوة 6.3.3

اقسِم كل حد في $2 x = 9$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 9$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

خطوة 6.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

خطوة 6.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

خطوة 7.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ في صورة ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

خطوة 7.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 7.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 7.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 7.3.3.1.2.1.2

اقسِم ${(x - 6)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 7.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 7.3.3.2

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 7.3.3.3

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{9}{2}, 6$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{9}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $9$ من $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.2

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.4.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.6

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.6.1

أخرِج السالب.

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.6.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.3.7

اقسِم $4$ على $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.2

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.4.2

اطرح $12$ من $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.6

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.4.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.4.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.4.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.4.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.4.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.4.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

خطوة 10.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

خطوة 10.7

اضرب $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.2

اجمع $2$ و $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.3

اضرب $2$ في $2^{\frac{5}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.3.1

اضرب $2$ في $2^{\frac{5}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 10.7.3.4

أضف $3$ و $5$ .

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 11

$x = \frac{9}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{9}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{9}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 12.2.2

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

خطوة 12.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

خطوة 12.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

خطوة 12.2.4.2

اطرح $12$ من $9$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 12.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

خطوة 12.2.6

أعِد كتابة $- \frac{3}{2}$ بالصيغة ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.6.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

خطوة 12.2.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

خطوة 12.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

خطوة 12.2.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

خطوة 12.2.9

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

خطوة 12.2.10

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

خطوة 12.2.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

خطوة 12.2.11.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

خطوة 12.2.11.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

خطوة 12.2.11.4

أضف $1$ و $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

خطوة 12.2.11.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

خطوة 12.2.11.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

خطوة 12.2.11.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

خطوة 12.2.11.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

خطوة 12.2.11.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

خطوة 12.2.11.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

خطوة 12.2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.12.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

خطوة 12.2.12.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

خطوة 12.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.13.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

خطوة 12.2.13.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

خطوة 12.2.14

اضرب $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.14.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.2.14.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

خطوة 12.2.15

الإجابة النهائية هي $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 6$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اطرح $6$ من $6$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 14.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 14.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

خطوة 14.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

خطوة 14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

خطوة 14.3.2

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

خطوة 14.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

خطوة 14.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 15

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 15.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, \frac{9}{2})$ في المشتق الأول $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $2 (2 (0) - 9)$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 15.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.3.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.4.1

اطرح $6$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.4.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.2.2.5

انقُل ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 15.2.2.6

اضرب $- 6$ في ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.6.1

اضرب $- 6$ في ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.6.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $1$ .

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 15.2.2.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

خطوة 15.2.2.6.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

خطوة 15.2.2.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

خطوة 15.2.2.6.4

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 15.2.2.7

الإجابة النهائية هي ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 15.3

عوّض بأي عدد، مثل $5$ ، من الفترة $(\frac{9}{2}, 6)$ في المشتق الأول $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3.2.1.2

اطرح $9$ من $10$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.2.1

اطرح $6$ من $5$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3.2.2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.3.2.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 15.3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 15.3.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 15.3.2.2.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

خطوة 15.3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

خطوة 15.3.2.3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3}$

خطوة 15.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 15.4

عوّض بأي عدد، مثل $8$ ، من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1.1

اضرب $2$ في $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.4.2.1.2

اطرح $9$ من $16$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.2.1

اطرح $6$ من $8$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.4.2.2.2

اضرب $2$ في $7$ .

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.4.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 15.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{9}{2}$ ، إذن $x = \frac{9}{2}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{9}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15.6

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 6$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 15.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ .

$x = \frac{9}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16