حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 1

اكتب $y = {(\frac{1}{x})}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{2}{x} (- x^{- 2})$

خطوة 2.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x^{- 2}$ .

$- \frac{2 x^{- 2}}{x}$

خطوة 2.2.4.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

خطوة 2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2}{x^{1 + 2}}$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

خطوة 3.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

خطوة 3.5.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7