حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 1

اكتب $y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ في صورة دالة.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 9$ و $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.3.2

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.3.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

خطوة 2.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $e^{- \frac{x}{4}}$ في $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $x$ و $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4.2.3

اجمع $- 9$ و $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 2.4.2.5

لكتابة $e^{- \frac{x}{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.4.2.6

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

خطوة 2.4.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

خطوة 2.4.2.8

انقُل $4$ إلى يسار $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 2.4.2.9

أضف $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ و $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 2.4.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.4

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.8

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.9

اجمع $x$ و $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.2.10

اضرب $e^{- \frac{x}{4}}$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- \frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 3.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

خطوة 3.3.3

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

خطوة 3.3.6

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 3.3.8

اضرب $\frac{5}{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\frac{5}{4}$ في $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.3.10

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.5

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.6

لكتابة $- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.7.1

اضرب $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.7.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 3.4.2.10

أضف $- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ و $5 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.3.2

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

خطوة 5.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 5.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 5.1.3.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

خطوة 5.1.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

خطوة 5.1.3.8.2

اضرب $e^{- \frac{x}{4}}$ في $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

اجمع $x$ و $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4.2.3

اجمع $- 9$ و $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

خطوة 5.1.4.2.5

لكتابة $e^{- \frac{x}{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 5.1.4.2.6

اجمع $e^{- \frac{x}{4}}$ و $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

خطوة 5.1.4.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

خطوة 5.1.4.2.8

انقُل $4$ إلى يسار $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 5.1.4.2.9

أضف $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ و $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 5.1.4.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

خطوة 6.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = - 5$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 5$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 5$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

خطوة 10.2.2

اضرب $- - \frac{5}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $\frac{5}{4}$ في $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

خطوة 10.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

خطوة 10.2.4

اضرب $- - \frac{5}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

خطوة 10.2.4.2

اضرب $\frac{5}{4}$ في $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

خطوة 10.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أضف $- 5 e^{\frac{5}{4}}$ و $e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

خطوة 10.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

خطوة 10.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

خطوة 10.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

خطوة 10.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

خطوة 11

$x = - 5$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 5$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $- 5$ و $9$ .

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

خطوة 12.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 14