حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 1

اكتب $y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$ في صورة دالة.

$f (x) = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \frac{4}{x} + x$ و $g (x) = \frac{4}{x} - x$ .

$(\frac{4}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} - x] + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{4}{x} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

خطوة 2.2.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{4}{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.11

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.13

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

خطوة 2.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{- 4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

خطوة 2.3.3.3

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{- 4}{x^{2}} + 1)$

خطوة 2.3.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- \frac{4}{x^{2}} + 1)$

خطوة 2.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

وسّع $(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} + x) - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.1

اضرب $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.1.1

اضرب $\frac{4}{x}$ في $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.1.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.1.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.1.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.4

أعِد كتابة $- 1 \frac{4}{x}$ بالصيغة $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.2.2

اطرح $\frac{4}{x}$ من $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - 2 \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

اضرب $- 2 \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1.1

اجمع $- 2$ و $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.3.1.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.4

وسّع $(- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} - x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

خطوة 2.3.5.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1.1

اضرب $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1.1.1

اضرب $\frac{4}{x}$ في $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1.1.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1.1.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.1.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.5.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.3

اجمع $\frac{- 4}{x}$ و $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.4

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.5

اضرب $\frac{4}{x}$ في $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} + 1 (- x)$

خطوة 2.3.5.5.1.6

اضرب $- x$ في $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} - x$

خطوة 2.3.5.5.2

أضف $\frac{4}{x}$ و $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + 2 \frac{4}{x} - x$

خطوة 2.3.5.6

اضرب $2 \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.6.1

اجمع $2$ و $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 4}{x} - x$

خطوة 2.3.5.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$

خطوة 2.3.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $- \frac{8}{x}$ و $\frac{8}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} + 0 - x$

خطوة 2.3.6.2

أضف $- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}}$ و $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} - x$

خطوة 2.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x - x + \frac{- 16 - 16}{x^{3}}$

خطوة 2.3.8

اطرح $16$ من $- 16$ .

$- x - x + \frac{- 32}{x^{3}}$

خطوة 2.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x - x - \frac{32}{x^{3}}$

خطوة 2.3.10

اطرح $x$ من $- x$ .

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{32}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

خطوة 3.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

خطوة 3.3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

خطوة 3.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{2 - 6})$

خطوة 3.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 4})$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 3$ في $- 32$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 x^{- 4}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 (\frac{1}{x^{4}})$

خطوة 3.4.2

اجمع $96$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{96}{x^{4}}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{96}{x^{4}} - 2$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7