حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{\frac{x}{5}}$

خطوة 1

اكتب $y = e^{\frac{x}{5}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{\frac{x}{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{x}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{5}$ .

$e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{5}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1$

خطوة 2.2.4

اضرب $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ في $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{5}})$

خطوة 3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $e^{\frac{x}{5}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{5})$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot (\frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 3.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5 \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 3.3.3.2

اضرب $5$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25} \cdot 1$

خطوة 3.3.5

اضرب $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{25}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7