حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{9}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{9}{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 2.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

خطوة 2.8.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 2.10

اجمع $x^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 2.11

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 2.12

اجمع $- 9$ و $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.13.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{9}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

خطوة 3.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 3.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 3.9

اجمع $x^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

خطوة 3.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 3.10.2

اضرب $\frac{9}{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 3.11

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اضرب $3$ في $9$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

خطوة 3.12.3

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7