حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

خطوة 1

اكتب $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.2.8

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $- 3 e^{- x} + e^{x}$ و $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.3.8

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 5.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

خطوة 5.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

خطوة 5.1.4.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

خطوة 5.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $e^{- x}$ في صورة أُس.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

خطوة 6.3

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

خطوة 6.4.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

خطوة 6.5

أعِد ترتيب $\frac{3}{u}$ و $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

خطوة 6.6

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, u, 1, 1$

خطوة 6.6.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$u$

خطوة 6.6.2

اضرب كل حد في $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ في $u$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اضرب كل حد في $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ في $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

خطوة 6.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1.1

اضرب $u$ في $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

خطوة 6.6.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

خطوة 6.6.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

خطوة 6.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.3.1

اضرب $0$ في $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

خطوة 6.6.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

حلّل $u^{2} + 3 - 4 u$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 6.6.3.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

خطوة 6.6.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 6.6.3.3

عيّن قيمة العبارة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.3.1

عيّن قيمة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 3 = 0$

خطوة 6.6.3.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 3$

خطوة 6.6.3.4

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.4.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 6.6.3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 6.6.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 3) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = 3, 1$

خطوة 6.7

عوّض بـ $3$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

خطوة 6.8

أوجِد حل $3 = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

خطوة 6.8.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

خطوة 6.8.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (3)$

خطوة 6.8.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

خطوة 6.8.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (3)$

خطوة 6.9

عوّض بـ $1$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

خطوة 6.10

أوجِد حل $1 = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

خطوة 6.10.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

خطوة 6.10.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (1)$

خطوة 6.10.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

خطوة 6.10.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (1)$

خطوة 6.10.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.11

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (3), 0$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \ln (3), 0$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \ln (3)$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

خطوة 10.1.2

بسّط $- (\ln (3))$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

خطوة 10.1.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

خطوة 10.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 10.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 10.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 10.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 - 1$

خطوة 10.2

اطرح $1$ من $3$ .

$2$

خطوة 11

$x = \ln (3)$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \ln (3)$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\ln (3)$ في العبارة.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.2

بسّط $- (\ln (3))$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

خطوة 12.2.1.6

بسّط $- 4 \ln (3)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

خطوة 12.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

خطوة 12.2.2

اطرح $1$ من $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

خطوة 14.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

خطوة 14.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

خطوة 14.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$1 - 3$

خطوة 14.2

اطرح $3$ من $1$ .

$- 2$

خطوة 15

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

خطوة 16.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

خطوة 16.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

خطوة 16.2.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

خطوة 16.2.1.5

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

خطوة 16.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

اطرح $3$ من $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

خطوة 16.2.2.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 16.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ هي نقاط دنيا محلية

$(0, - 2)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 18