حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.5.2

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.5.5.3

اجمع $27$ و $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2.1.2

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2.1.3

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.2.4

اطرح $3 x$ من $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و ${(x + 1)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 2.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.2.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.5

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.7

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{27 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.2

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{4})}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{4})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.5.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.7.2

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{3}$ من ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{3}$ من ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.7.2.2

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{3}$ من $- 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.7.2.3

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{3}$ من ${(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 3.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{3}$ من ${(x + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.12.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.12.3

اجمع $- 27$ و $\frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.12.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.1

وسّع $(x + 1) (2 x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.1.4

اضرب $2 x$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + 0 - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.2.3

أضف $2 x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2}) + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.4

اضرب $2$ في $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.5

اضرب $27$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.6.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 (x \cdot x)) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x^{2}) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.7

اضرب $- 4$ في $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.8

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (8 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.1.9

اضرب $8$ في $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.3.2

اطرح $108 x^{2}$ من $54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1

أخرِج العامل $54$ من $- 54 x^{2} - 54 + 216 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.1

أخرِج العامل $54$ من $- 54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4.1.2

أخرِج العامل $54$ من $- 54$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4.1.3

أخرِج العامل $54$ من $216 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4.1.4

أخرِج العامل $54$ من $54 (- x^{2}) + 54 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4.1.5

أخرِج العامل $54$ من $54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1 + 4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.6

أخرِج العامل $- 1$ من $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.8

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.10

أعِد كتابة $- (x^{2} - 4 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 4 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 3.13.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

خطوة 3.13.13

اضرب $\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

خطوة 5.1.2

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 5.1.3.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.5.2

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.5.5.3

اجمع $27$ و $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.2.1

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.2.1.1

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2.1.2

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2.1.3

أخرِج العامل $27 {(x + 1)}^{2} x$ من $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.2.4

اطرح $3 x$ من $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و ${(x + 1)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.3.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 5.1.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.3.2.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.5

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.7

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.1.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$27 x (x - 2) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 6.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 6.3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $27 x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 1)}^{4} = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 7.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{54 ({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1)}{{((0) + 1)}^{5}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{54 (0 - 4 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

خطوة 10.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{54 (0 + 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

خطوة 10.1.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{54 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

خطوة 10.1.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{5}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{1^{5}}$

خطوة 10.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{54 \cdot 1}{1}$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $54$ في $1$ .

$\frac{54}{1}$

خطوة 10.3.2

اقسِم $54$ على $1$ .

$54$

خطوة 11

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{27 {(0)}^{2}}{{((0) + 1)}^{3}}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{3}}$

خطوة 12.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1^{3}}$

خطوة 12.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1}$

خطوة 12.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

اضرب $27$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

خطوة 12.2.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{54 ({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1)}{{((2) + 1)}^{5}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{54 (4 - 4 \cdot 2 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

خطوة 14.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{54 (4 - 8 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

خطوة 14.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{54 (- 4 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

خطوة 14.1.4

أضف $- 4$ و $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{5}}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{3^{5}}$

خطوة 14.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{243}$

خطوة 14.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $54$ في $- 3$ .

$\frac{- 162}{243}$

خطوة 14.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 162$ و $243$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

أخرِج العامل $81$ من $- 162$ .

$\frac{81 (- 2)}{243}$

خطوة 14.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

أخرِج العامل $81$ من $243$ .

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

خطوة 14.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

خطوة 14.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{3}$

خطوة 14.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{3}$

خطوة 15

$x = 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{27 {(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}}$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{{(2 + 1)}^{3}}$

خطوة 16.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

أضف $2$ و $1$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{3^{3}}$

خطوة 16.2.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{27}$

خطوة 16.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.3.1

اضرب $27$ في $4$ .

$f (2) = \frac{108}{27}$

خطوة 16.2.3.2

اقسِم $108$ على $27$ .

$f (2) = 4$

خطوة 16.2.4

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(2, 4)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 18