حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $1 + 0.25 x^{2}$ في $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 0.25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.6

بما أن $0.25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.7

اضرب $0.25$ في $- 1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.9

اضرب $2$ في $- 0.25$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

اطرح $0.5 x^{2}$ من $0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.9

اجمع $11$ و $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $11$ في $1$ .

$\frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10.2.2

اضرب $- 0.25$ في $11$ .

$\frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.4.1

أخرِج العامل $2.75$ من $- 2.75 x^{2} + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.4.1.1

أخرِج العامل $2.75$ من $- 2.75 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4.1.2

أخرِج العامل $2.75$ من $11$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4.1.3

أخرِج العامل $2.75$ من $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.4.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.1

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.5.1.1

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.5.1.2

أخرِج العامل $0.25$ من $1$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.5.1.3

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

خطوة 2.10.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.5.3

ارفع $0.25$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.6

أخرِج العامل $2.75$ من $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.7

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

خطوة 2.10.8

افصِل الكسور.

$\frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.9

اقسِم $2.75$ على $0.0625$ .

$44 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10.10

اجمع $44$ و $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $44$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $44 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 44 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

خطوة 3.2

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

خطوة 3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 2 + x$ و $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $2 + x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.6.3

أعِد كتابة $- 1 (2 + x)$ بالصيغة $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.5.11

اضرب $2 - x$ في $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.7.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.7.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 3.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.11

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 3.12.3

اجمع $44$ و $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 - x + 2 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.2.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.2.2

أضف $- x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.3

اطرح $x$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{44 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.6

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.7

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.7.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.7.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3}) + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.9

اضرب $- 2$ في $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.10

اضرب $- 8$ في $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.11

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.12

وسّع $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.13.1.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.2

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.13.1.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.1.6

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.2

اطرح $8 x$ من $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.13.3

أضف $- 16$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.14

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.15

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.15.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.15.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.4.1.15.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.15.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.15.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.16

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x) + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.17

اضرب $- 16$ في $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.1.18

اضرب $4$ في $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 176 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.2

أضف $- 88 x^{3}$ و $176 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 352 x - 704 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.4.3

اطرح $704 x$ من $- 352 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.5

أخرِج العامل $88 x$ من $88 x^{3} - 1056 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.5.1

أخرِج العامل $88 x$ من $88 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.5.2

أخرِج العامل $88 x$ من $- 1056 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 3.13.5.3

أخرِج العامل $88 x$ من $88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$f' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}})$

خطوة 5.1.2

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.2

اضرب $1 + 0.25 x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 0.25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.6

بما أن $0.25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.25 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.7

اضرب $0.25$ في $- 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.3.9

اضرب $2$ في $- 0.25$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.8

اطرح $0.5 x^{2}$ من $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

خطوة 5.1.9

اجمع $11$ و $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.2.1

اضرب $11$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.10.2.2

اضرب $- 0.25$ في $11$ .

$f' (x) = \frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.4.1

أخرِج العامل $2.75$ من $- 2.75 x^{2} + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.4.1.1

أخرِج العامل $2.75$ من $- 2.75 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4.1.2

أخرِج العامل $2.75$ من $11$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4.1.3

أخرِج العامل $2.75$ من $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.4.4

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.5.1

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.5.1.1

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.5.1.2

أخرِج العامل $0.25$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.5.1.3

أخرِج العامل $0.25$ من $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

خطوة 5.1.10.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.5.3

ارفع $0.25$ إلى القوة $2$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.6

أخرِج العامل $2.75$ من $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.7

أخرِج العامل $0.0625$ من $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

خطوة 5.1.10.8

افصِل الكسور.

$f' (x) = \frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.10.9

اقسِم $2.75$ على $0.0625$ .

$f' (x) = 44 (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

خطوة 5.1.10.10

اجمع $44$ و $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$44 (2 + x) (2 - x) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

خطوة 6.3.2

عيّن قيمة العبارة $2 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

عيّن قيمة $2 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 + x = 0$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6.3.3

عيّن قيمة العبارة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

عيّن قيمة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x = 0$

خطوة 6.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 6.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 6.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $44 (2 + x) (2 - x) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 2, 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{88 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $88$ في $- 2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

خطوة 10.2.2

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

خطوة 10.2.3

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 176 (4 - 12)}{512}$

خطوة 10.3.2

اطرح $12$ من $4$ .

$\frac{- 176 \cdot - 8}{512}$

خطوة 10.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $- 176$ في $- 8$ .

$\frac{1408}{512}$

خطوة 10.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $1408$ و $512$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

أخرِج العامل $128$ من $1408$ .

$\frac{128 (11)}{512}$

خطوة 10.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.1

أخرِج العامل $128$ من $512$ .

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

خطوة 10.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

خطوة 10.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11}{4}$

خطوة 11

$x = - 2$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{11 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $11$ في $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

خطوة 12.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

خطوة 12.2.2.2

اضرب $0.25$ في $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 1}$

خطوة 12.2.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{2}$

خطوة 12.2.3

اقسِم $- 22$ على $2$ .

$f (- 2) = - 11$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $- 11$ .

$y = - 11$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{88 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $88$ في $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

خطوة 14.2.2

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

خطوة 14.2.3

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{512}$

خطوة 14.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{176 (4 - 12)}{512}$

خطوة 14.3.2

اطرح $12$ من $4$ .

$\frac{176 \cdot - 8}{512}$

خطوة 14.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اضرب $176$ في $- 8$ .

$\frac{- 1408}{512}$

خطوة 14.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 1408$ و $512$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

أخرِج العامل $128$ من $- 1408$ .

$\frac{128 (- 11)}{512}$

خطوة 14.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.2.1

أخرِج العامل $128$ من $512$ .

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

خطوة 14.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

خطوة 14.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 11}{4}$

خطوة 14.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11}{4}$

خطوة 15

$x = 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{11 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اضرب $11$ في $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

خطوة 16.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

خطوة 16.2.2.2

اضرب $0.25$ في $4$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 1}$

خطوة 16.2.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$f (2) = \frac{22}{2}$

خطوة 16.2.3

اقسِم $22$ على $2$ .

$f (2) = 11$

خطوة 16.2.4

الإجابة النهائية هي $11$ .

$y = 11$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 11)$ هي نقاط دنيا محلية

$(2, 11)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 18