حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x - 5}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{1}{x - 5}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x - 5}$ بالصيغة ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 3.4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 3.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ في $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + 0$

خطوة 3.4.7.2

أضف $2 {(x - 5)}^{- 3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

خطوة 3.5.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7