حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x}{1 + x}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{x}{1 + x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $1 + x$ في $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.7

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.7.2

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2.2.7.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

خطوة 3.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 5

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 7