حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

خطوة 1

اكتب $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ في صورة دالة.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 13 \cos (h x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.3

بما أن $h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $h x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.5

اضرب $h$ في $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.2.6

اضرب $- 1$ في $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 \sin (h x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

خطوة 2.3.3

بما أن $h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $h x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $h$ في $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $13 h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $13 h \sin (h x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.3

بما أن $h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $h x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.5

اضرب $h$ في $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.6

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.7

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $12 h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 h \cos (h x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

خطوة 3.3.3

بما أن $h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $h x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $h$ في $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

خطوة 3.3.7

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

خطوة 3.3.8

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

خطوة 3.3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

خطوة 3.3.10

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

خطوة 5

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 6

افصِل الكسور.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 7

حوّل من $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ إلى $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 8

اقسِم $13 h$ على $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 9

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (h x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ألغِ العامل المشترك.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 9.2

اقسِم $12 h$ على $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

خطوة 10

افصِل الكسور.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

خطوة 11

حوّل من $\frac{1}{\cos (h x)}$ إلى $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

خطوة 12

اقسِم $0$ على $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

خطوة 13

اضرب $0$ في $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

خطوة 14

اطرح $12 h$ من كلا المتعادلين.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

خطوة 15

اقسِم كل حد في $13 h \tan (h x) = - 12 h$ على $13 h$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اقسِم كل حد في $13 h \tan (h x) = - 12 h$ على $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.2.2.2

اقسِم $\tan (h x)$ على $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

خطوة 15.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

خطوة 15.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

خطوة 16

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

خطوة 17

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

احسِب قيمة $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

خطوة 18

اقسِم كل حد في $h x = - 0.74541947$ على $h$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اقسِم كل حد في $h x = - 0.74541947$ على $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

خطوة 18.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

خطوة 18.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

خطوة 18.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

خطوة 19

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

خطوة 20

أضف $2 π$ إلى $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 21

الزاوية الناتجة لـ $2.39617317$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

خطوة 22

اقسِم كل حد في $h x = 2.39617317$ على $h$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

اقسِم كل حد في $h x = 2.39617317$ على $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

خطوة 22.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

خطوة 22.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{2.39617317}{h}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

خطوة 24

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

خطوة 24.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

خطوة 24.2

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

خطوة 24.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

خطوة 25

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 26