حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

خطوة 1

اكتب $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ في صورة دالة.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 250$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 25}$ بالصيغة ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

خطوة 2.2.6

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

خطوة 2.2.7

أضف $2 x$ و $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

خطوة 2.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

خطوة 2.2.9

اضرب $- 2$ في $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

خطوة 2.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $500$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ و $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $500$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.7

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.8

اضرب ${(x^{2} + 25)}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.9

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.10

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.11

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.15

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.16

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.16.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.16.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.17

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.17.1

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.17.2

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.17.3

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.18

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.19.1

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.2.20

اجمع $500$ و $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 3$ في $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $500$ في $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

خطوة 3.4.2.3

أضف $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $500$ من $- 1500 x^{2} + 12500$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $500$ من $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $500$ من $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $500$ من $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 25)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 3.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

خطوة 5.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بما أن $- 250$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 25}$ بالصيغة ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

خطوة 5.1.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 5.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 5.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

خطوة 5.1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

خطوة 5.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

خطوة 5.1.2.6

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

خطوة 5.1.2.7

أضف $2 x$ و $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

خطوة 5.1.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

خطوة 5.1.2.9

اضرب $- 2$ في $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

خطوة 5.1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

اجمع $500$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

خطوة 5.1.3.2.2

اجمع $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ و $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 5.1.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

خطوة 6.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 5, - 1.47798871$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 5$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 10.1.2

اضرب $3$ في $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 10.1.3

اطرح $25$ من $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

خطوة 10.2.2

أضف $25$ و $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

خطوة 10.2.3

ارفع $50$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

خطوة 10.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $500$ في $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

خطوة 10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $25000$ و $125000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $25000$ من $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $25000$ من $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

خطوة 10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{5}$

خطوة 11

$x = - 5$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 5$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

خطوة 12.2.1.1.2

أضف $25$ و $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

خطوة 12.2.1.2

اقسِم $250$ على $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

خطوة 12.2.1.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

خطوة 12.2.2

اطرح $5$ من $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10$ .

$y = - 10$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1.47798871$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارفع $- 1.47798871$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 14.1.2

اضرب $3$ في $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 14.1.3

اطرح $25$ من $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

ارفع $- 1.47798871$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

خطوة 14.2.2

أضف $2.18445063$ و $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

خطوة 14.2.3

ارفع $27.18445063$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

خطوة 14.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $500$ في $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

خطوة 14.3.2

اقسِم $- 9223.32404202$ على $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

خطوة 14.3.3

اضرب $- 1$ في $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

خطوة 15

$x = - 1.47798871$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1.47798871$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1.47798871$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.47798871$ في العبارة.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1.1

ارفع $- 1.47798871$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

خطوة 16.2.1.1.2

أضف $2.18445063$ و $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

خطوة 16.2.1.2

اقسِم $250$ على $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

خطوة 16.2.1.3

اضرب $- 1$ في $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

خطوة 16.2.2

اطرح $9.19643377$ من $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

خطوة 16.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ هي نقطة قصوى محلية

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 18