حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9$ , $(- 3, 5)$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 3, 5]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \int_{- 3}^{5} x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 9

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 12

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 48$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

خطوة 15

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

خطوة 16

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $5$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 ((\frac{5^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

خطوة 16.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $5$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

خطوة 16.3

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $5$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

خطوة 16.4

احسِب قيمة $9 x$ في $5$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625 - 81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.4

اطرح $81$ من $625$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{544}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $544$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.5.1

أخرِج العامل $4$ من $544$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 (1)}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{136}{1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.5.2.4

اقسِم $136$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \cdot 136 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.6

اضرب $2$ في $136$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.7

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.8

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.9.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.9.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.9.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.10

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.11

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.12

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.14.1

اضرب $9$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 27}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.14.2

أضف $125$ و $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{152}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.15

اجمع $- 6$ و $\frac{152}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 6 \cdot 152}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.16

اضرب $- 6$ في $152$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 912}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.17

احذِف العامل المشترك لـ $- 912$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.17.1

أخرِج العامل $3$ من $- 912$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.17.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 (1)} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 \cdot 1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 304}{1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.17.2.4

اقسِم $- 304$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 304 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.18

اطرح $304$ من $272$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.19

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.20

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{25 - 9}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.22

اطرح $9$ من $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{16}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.23

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.23.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.23.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.23.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.23.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.23.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{8}{1}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.23.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \cdot 8 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.24

اضرب $- 48$ في $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 384 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.25

اطرح $384$ من $- 32$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.26

اضرب $9$ في $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 - 9 \cdot - 3)$

خطوة 16.5.27

اضرب $- 9$ في $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 + 27)$

خطوة 16.5.28

أضف $45$ و $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 72)$

خطوة 16.5.29

أضف $- 416$ و $72$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 344)$

خطوة 17

أضف $5$ و $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot - 344$

خطوة 18

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

أخرِج العامل $8$ من $- 344$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 (- 43))$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 43)$

خطوة 18.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = - 43$

خطوة 19