حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$a' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 3 e^{- t}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $a (t)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $a' (t)$ .

$a (t) = \int a' (t) d t$

خطوة 2

اجمع $\frac{15}{2}$ و $\sqrt{t}$ .

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 3 e^{- t} d t$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 3 e^{- t} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{15}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{15}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 3 e^{- t} d t$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 3 e^{- t} d t$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 e^{- t} d t$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int e^{- t} d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - t$ . إذن $d u = - d t$ ، لذا $- d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int - e^{u} d u$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 (- \int e^{u} d u)$

خطوة 10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 \int e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 (e^{u} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $\frac{15}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.2

اضرب $15$ في $2$ .

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

أخرِج العامل $6$ من $30$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 12.2.4.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

خطوة 14

الدالة $a$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$a (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$