حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g' (x) = \sqrt{5 x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $g (x)$ بحساب قيمة التكامل غير المحدد للمشتق $g' (x)$ .

$g (x) = \int g' (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$\frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 9

الدالة $g$ إذا كانت مشتقة من تكامل مشتق الدالة. ويُعد هذا صحيحًا وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$g (x) = \frac{2}{15} \cdot {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$