حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (2 y - 1) = 2 x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

خطوة 3.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = e^{2 x} + 1$

خطوة 3.6.3

اقسِم كل حد في $2 y = e^{2 x} + 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اقسِم كل حد في $2 y = e^{2 x} + 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.6.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

بسّط $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.2

بسّط $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.4

اضرب الأُسس في ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.5

بسّط.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

خطوة 5.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 5.2.5.1.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.5.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{2 x} + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

خطوة 5.3.4.2

أضف $e^{2 x}$ و $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

خطوة 5.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2 x$ خارج الأُس.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

خطوة 5.3.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

خطوة 5.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

خطوة 5.3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$