حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ , $(- 3, - 2)$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 3, - 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} + 4 x + 2 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 \int_{- 3}^{- 2} x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2}$ و $2 x]_{- 3}^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $- 2$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ في $- 2$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.4

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.5

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.7.1

اضرب $2$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.7.2

اطرح $9$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{- 5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (- \frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 4 (\frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.10

اجمع $- 4$ و $\frac{5}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 4 \cdot 5}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.11

اضرب $- 4$ في $5$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 20}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $- 20$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10}{1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.12.2.4

اقسِم $- 10$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.13

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot - 8 + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.14

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.16

اضرب $2$ في $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.17

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.18

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.20.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.20.2

اطرح $12$ من $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.22

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.23

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 27}{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.24

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.24.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.24.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.24.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.24.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.24.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 9}{1} + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.24.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 + 2 \cdot - 3))$

خطوة 11.2.3.25

اضرب $2$ في $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 - 6))$

خطوة 11.2.3.26

اطرح $6$ من $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

خطوة 11.2.3.27

اضرب $- 1$ في $- 15$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

خطوة 11.2.3.28

لكتابة $15$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 11.2.3.29

اجمع $15$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.3.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 15 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.3.31

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.31.1

اضرب $15$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 45}{3})$

خطوة 11.2.3.31.2

أضف $- 20$ و $45$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{25}{3})$

خطوة 11.2.3.32

لكتابة $- 10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3})$

خطوة 11.2.3.33

اجمع $- 10$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3})$

خطوة 11.2.3.34

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3 + 25}{3})$

خطوة 11.2.3.35

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.35.1

اضرب $- 10$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 30 + 25}{3})$

خطوة 11.2.3.35.2

أضف $- 30$ و $25$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 5}{3})$

خطوة 11.2.3.36

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- \frac{5}{3})$

خطوة 12

أضف $- 2$ و $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

خطوة 13.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{5}{3})$

خطوة 14

اضرب $- \frac{5}{3}$ في $1$ .

$A (x) = - \frac{5}{3}$

خطوة 15