حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , $[- 2, 6]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 2, 6]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} + 2 x + 10 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} d x + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 \int_{- 2}^{6} x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + 10 x]_{- 2}^{6})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6}$ و $10 x]_{- 2}^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $6$ وفي $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + 10 x$ في $6$ وفي $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.2.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{4}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 1 \cdot 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.6

اطرح $2$ من $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.7

اضرب $2$ في $16$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.8

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 216 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{216}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.10.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{72}{1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.10.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.11

اضرب $10$ في $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 60 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.12

أضف $72$ و $60$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.13

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.14

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{- 8}{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + 10 \cdot - 2))$

خطوة 11.2.3.16

اضرب $10$ في $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20))$

خطوة 11.2.3.17

لكتابة $- 20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3}))$

خطوة 11.2.3.18

اجمع $- 20$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3}))$

خطوة 11.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 20 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.20.1

اضرب $- 20$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 60}{3})$

خطوة 11.2.3.20.2

اطرح $60$ من $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 68}{3})$

خطوة 11.2.3.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

خطوة 11.2.3.22

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + 1 (\frac{68}{3}))$

خطوة 11.2.3.23

اضرب $\frac{68}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

خطوة 11.2.3.24

لكتابة $132$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3})$

خطوة 11.2.3.25

اجمع $132$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3})$

خطوة 11.2.3.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3 + 68}{3})$

خطوة 11.2.3.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.27.1

اضرب $132$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{396 + 68}{3})$

خطوة 11.2.3.27.2

أضف $396$ و $68$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{464}{3})$

خطوة 11.2.3.28

لكتابة $32$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{464}{3})$

خطوة 11.2.3.29

اجمع $32$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{464}{3})$

خطوة 11.2.3.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3 + 464}{3})$

خطوة 11.2.3.31

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.31.1

اضرب $32$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{96 + 464}{3})$

خطوة 11.2.3.31.2

أضف $96$ و $464$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{560}{3})$

خطوة 12

أضف $6$ و $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{560}{3}$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $8$ من $560$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (70)}{3}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 70}{3}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{70}{3}$

خطوة 14