حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $0 < x < 6$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 6]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} x^{2} + 2 x d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} 2 x d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} 2 x d x)$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + 2 \int_{0}^{6} x d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}))$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}))$

خطوة 9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3}$ في $6$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}))$

خطوة 9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $6$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{216}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{72}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.3.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.5

اضرب $0$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 0 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.6

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 0 + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.7

أضف $72$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.8

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.9.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 9.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{0}{2}))$

خطوة 9.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{2 (0)}{2}))$

خطوة 9.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - \frac{0}{1}))$

خطوة 9.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 - 0))$

خطوة 9.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 (18 + 0))$

خطوة 9.2.3.13

أضف $18$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 2 \cdot 18)$

خطوة 9.2.3.14

اضرب $2$ في $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72 + 36)$

خطوة 9.2.3.15

أضف $72$ و $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (108)$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 108$

خطوة 10.2

أضف $6$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 108$

خطوة 11

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $6$ من $108$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (18))$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 18)$

خطوة 11.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 18$

خطوة 12