حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 1$ , $- 1 < x < 2$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + x]_{- 1}^{2})$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ و $x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2})$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + x$ في $2$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.6.2

أضف $8$ و $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 - 1))$

خطوة 8.2.2.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{- 1}{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1))$

خطوة 8.2.2.10

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}))$

خطوة 8.2.2.11

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}))$

خطوة 8.2.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})$

خطوة 8.2.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.13.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 3}{3})$

خطوة 8.2.2.13.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 4}{3})$

خطوة 8.2.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

خطوة 8.2.2.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + 1 (\frac{4}{3}))$

خطوة 8.2.2.16

اضرب $\frac{4}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

خطوة 8.2.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14 + 4}{3})$

خطوة 8.2.2.18

أضف $14$ و $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{3})$

خطوة 8.2.2.19

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.19.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3})$

خطوة 8.2.2.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.19.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)})$

خطوة 8.2.2.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1})$

خطوة 8.2.2.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6}{1})$

خطوة 8.2.2.19.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6)$

خطوة 9

أضف $2$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 6$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 2$

خطوة 11