حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $p (x)$ متصلة في $[0, 10]$ أم لا، أوجِد نطاق $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $- x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

خطوة 1.2.2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

خطوة 1.2.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 72$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

ارفع $72$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.3

اطرح $8$ من $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.4

أعِد كتابة $5176$ بالصيغة $2^{2} \cdot 1294$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

ارفع $72$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.3

اطرح $8$ من $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.4

أعِد كتابة $5176$ بالصيغة $2^{2} \cdot 1294$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.6.5

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

خطوة 1.2.6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

خطوة 1.2.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.1

ارفع $72$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.3

اطرح $8$ من $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.4

أعِد كتابة $5176$ بالصيغة $2^{2} \cdot 1294$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

خطوة 1.2.7.3

بسّط $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.7.5

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

خطوة 1.2.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

خطوة 1.2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.8

وحّد الحلول.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.2.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 38$

خطوة 1.2.10.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 38$ في المتباينة الأصلية.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

خطوة 1.2.10.1.3

الطرف الأيسر $153$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 1.2.10.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 3$

خطوة 1.2.10.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

خطوة 1.2.10.2.3

الطرف الأيسر $- 197$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 1.2.10.3

اختبر قيمة في الفترة $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 1.2.10.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

خطوة 1.2.10.3.3

الطرف الأيسر $1$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 1.2.10.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ صحيحة

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ خطأ

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ صحيحة

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ صحيحة

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ خطأ

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ صحيحة

خطوة 1.2.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ أو $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

خطوة 2

$p (x)$ متصلة على $[0, 10]$ .

$p (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $p$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

خطوة 5.2

أضف $10$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $- x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{10}$ و $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

خطوة 7