حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = {(x - 6)}^{2}$ , $[5, 8]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$g (x)$ متصلة على $[5, 8]$ .

$g (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $g$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} {(x - 6)}^{2} d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x - 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x - 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

خطوة 5.3

اطرح $6$ من $5$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 8 - 6$

خطوة 5.5

اطرح $6$ من $8$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

خطوة 7.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

خطوة 7.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

خطوة 7.2.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 7.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8 + 1}{3})$

خطوة 7.2.7

أضف $8$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{9}{3})$

خطوة 7.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

خطوة 7.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

خطوة 7.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

خطوة 7.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3}{1})$

خطوة 7.2.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (3)$

خطوة 8

اطرح $5$ من $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 9.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1$

خطوة 10