حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[- 1, 1]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x - x^{2} d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4

اطرح $1$ من $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 (0)}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.6

اضرب $2$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

خطوة 11.2.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 11.2.3.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

خطوة 11.2.3.11

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 11.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{1 + 1}{3})$

خطوة 11.2.3.13

أضف $1$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{2}{3})$

خطوة 11.2.3.14

اطرح $\frac{2}{3}$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (- \frac{2}{3})$

خطوة 12

أضف $1$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{3}$ إلى بسط الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

خطوة 13.4

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

خطوة 14

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

خطوة 15