حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

خطوة 13.3

احسِب قيمة $3 x$ في $2$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.7

أضف $8$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.9

اضرب $2$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.12

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.13

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.16.1

اضرب $2$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.16.2

اطرح $1$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.17

اجمع $5$ و $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.18

اضرب $5$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.19

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.20

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.22.1

اضرب $6$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.22.2

أضف $12$ و $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.23

اضرب $3$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.24

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

خطوة 13.4.25

أضف $6$ و $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

خطوة 13.4.26

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 13.4.27

اجمع $9$ و $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

خطوة 13.4.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

خطوة 13.4.29

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.29.1

اضرب $9$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

خطوة 13.4.29.2

أضف $27$ و $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

خطوة 14

أضف $2$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

خطوة 15

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $3$ من $45$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{15}{2}$

خطوة 16