حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x + 1}$ , $[0, 24]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[0, 24]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x + 1 \geq 0$

خطوة 1.2

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 1$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - 1}$

ترميز الفترة:

$[- 1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - 1}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 24]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} \sqrt{x + 1} d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

خطوة 5.5

أضف $24$ و $1$ .

$u_{upper} = 25$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $25$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.6

اضرب $2$ في $125$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 8.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{250 - 2}{3})$

خطوة 8.2.10

اطرح $2$ من $250$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{248}{3})$

خطوة 9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot \frac{248}{3}$

خطوة 9.2

أضف $24$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot \frac{248}{3}$

خطوة 10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أخرِج العامل $8$ من $24$ .

$A (x) = \frac{1}{8 (3)} \cdot \frac{248}{3}$

خطوة 10.1.2

أخرِج العامل $8$ من $248$ .

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

خطوة 10.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{8 \cdot 3} \cdot \frac{8 \cdot 31}{3}$

خطوة 10.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

خطوة 10.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

خطوة 10.3

اضرب $3$ في $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

خطوة 11