حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ , $[1, 2]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[1, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

خطوة 7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

خطوة 10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 \int_{1}^{2} x d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}))$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

خطوة 12.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} x^{4}$ في $2$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

خطوة 12.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

خطوة 12.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.3.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.6

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.7

اجمع $4$ و $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.9.1

اضرب $4$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.9.2

اطرح $1$ من $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 \frac{8 - 1}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.13

اطرح $1$ من $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{7}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.14

اجمع $- 4$ و $\frac{7}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 4 \cdot 7}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.15

اضرب $- 4$ في $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.17

لكتابة $\frac{15}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.18

لكتابة $- \frac{28}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.19

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.19.1

اضرب $\frac{15}{4}$ في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.19.2

اضرب $4$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.19.3

اضرب $\frac{28}{3}$ في $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.19.4

اضرب $3$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.21.1

اضرب $15$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.21.2

اضرب $- 28$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 112}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.21.3

اطرح $112$ من $45$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.23

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.24

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.24.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.24.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.24.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.24.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.24.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.24.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1^{2}}{2}))$

خطوة 12.2.4.25

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1}{2}))$

خطوة 12.2.4.26

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

خطوة 12.2.4.27

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

خطوة 12.2.4.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}))$

خطوة 12.2.4.29

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.29.1

اضرب $2$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4 - 1}{2}))$

خطوة 12.2.4.29.2

اطرح $1$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{3}{2}))$

خطوة 12.2.4.30

اجمع $5$ و $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{5 \cdot 3}{2})$

خطوة 12.2.4.31

اضرب $5$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2})$

خطوة 12.2.4.32

لكتابة $\frac{15}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{6})$

خطوة 12.2.4.33

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.33.1

اضرب $\frac{15}{2}$ في $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 6})$

خطوة 12.2.4.33.2

اضرب $2$ في $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{12})$

خطوة 12.2.4.34

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 15 \cdot 6}{12})$

خطوة 12.2.4.35

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.35.1

اضرب $15$ في $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 90}{12})$

خطوة 12.2.4.35.2

أضف $- 67$ و $90$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{23}{12})$

خطوة 13

اطرح $1$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

خطوة 14.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1 \cdot \frac{23}{12}$

خطوة 15

اضرب $\frac{23}{12}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{23}{12}$

خطوة 16