حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ , $[0, 2]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} - 2 x + 1 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + x]_{0}^{2})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$ و $x]_{0}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + x$ في $2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.6.2

أضف $8$ و $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.8

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - (0 + 0) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 0 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} + 0 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.11

أضف $\frac{14}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.13.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 11.2.3.14

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{0}{2}))$

خطوة 11.2.3.15

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.15.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

خطوة 11.2.3.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 11.2.3.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 11.2.3.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - \frac{0}{1}))$

خطوة 11.2.3.15.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 - 0))$

خطوة 11.2.3.16

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 (2 + 0))$

خطوة 11.2.3.17

أضف $2$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 2 \cdot 2)$

خطوة 11.2.3.18

اضرب $- 2$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 4)$

خطوة 11.2.3.19

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 11.2.3.20

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.3.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14 - 4 \cdot 3}{3})$

خطوة 11.2.3.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.22.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{14 - 12}{3})$

خطوة 11.2.3.22.2

اطرح $12$ من $14$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2}{3})$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 12.2

أضف $2$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 13.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3}$

خطوة 14