حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[4, 9]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 1.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[4, 9]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

خطوة 5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $9$ وفي $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.5

اضرب $2$ في $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.6.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

خطوة 8.2.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

خطوة 8.2.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

خطوة 8.2.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

خطوة 8.2.2.11

اضرب $2$ في $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

خطوة 8.2.2.12

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

خطوة 8.2.2.13

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

خطوة 8.2.2.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

خطوة 8.2.2.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.15.1

اضرب $18$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

خطوة 8.2.2.15.2

اطرح $16$ من $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

خطوة 8.2.2.16

اجمع $6$ و $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

خطوة 8.2.2.17

اضرب $6$ في $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

خطوة 8.2.2.18

احذِف العامل المشترك لـ $228$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.18.1

أخرِج العامل $3$ من $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

خطوة 8.2.2.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.18.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

خطوة 8.2.2.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

خطوة 8.2.2.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

خطوة 8.2.2.18.2.4

اقسِم $76$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

خطوة 9

اطرح $4$ من $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{5}$ و $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

خطوة 11