حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[0, 2 π]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = 5 \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\csc (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

خطوة 5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

خطوة 6

تكامل $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ في $2 π$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

خطوة 7.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أعِد كتابة $\csc (2 π)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.2.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.2.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

أعِد كتابة $\csc (0)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

خطوة 7.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

خطوة 7.3.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

خطوة 7.3.6

اضرب $5$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

خطوة 8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

خطوة 8.2

أضف $2 π$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

خطوة 9

اضرب $\frac{1}{2 π}$ في $0$ .

$A (x) = 0$

خطوة 10